81(п). На прямой даны две точки: А и В, причём АВ = 1. Пусть М
некоторая точка прямой, Точка м, симмет-
рична м относительно А, точка м, симметрична М.
относительно В. Изобразите точки M, M, M,, если:
а) М — середина AB; б) AM = 3, BM = 2;
в) AM = 0,3, BM = 1,3.
Для всех случаев найдите длину отрезка MM,.

Для решения данной задачи нам необходимо построить точки M, M', M'' для трех предложенных случаев и найти длину отрезка MM'.

а) Пусть М является серединой AB. Так как АВ = 1, то АМ = МВ = 0.5. Чтобы найти точку М', которая симметрична точке М относительно точки А, мы должны отложить 0.5 в противоположную сторону от А, получая М' = 0.5. Аналогично, чтобы найти точку М'', которая симметрична точке М относительно точки В, мы должны отложить 0.5 в противоположную сторону от В, получая М'' = 0.5. Таким образом, точки М, М', М'' совпадают и равны 0.5. Длина отрезка MM' (и отрезка ММ'') равна 0.

б) Пусть AM = 3 и BM = 2. Сумма AM и BM равна 5, что больше, чем длина AB, поэтому точку М невозможно нарисовать так, чтобы AM = 3 и BM = 2. Значит, в данном случае точка М не существует и отрезок MM' не имеет длины.

в) Пусть AM = 0.3 и BM = 1.3. Сумма AM и BM равна 1.6, что меньше, чем длина AB, поэтому точка М может существовать. Чтобы найти точку М', мы должны отложить от А до М' в том же отношении, в котором М лежит между А и В. Из условия известно, что AM = 0.3 и BM = 1.3. Таким образом, 0.3 является 3/16 (так как AB равно 1 и 0.3 является 3/10 от 1), а 1.3 является 13/16 (так как AB равно 1 и 1.3 является 13/10 от 1). Поэтому точка М' будет лежать на расстоянии 3/16 от А и 13/16 от В. Аналогично, чтобы найти точку М'', мы должны отложить от В до М'' в том же отношении, в котором М лежит между А и В. Мы уже установили, что точка М' лежит на расстоянии 3/16 от А, поэтому точка М'' будет лежать на расстоянии 3/16 от В и 13/16 от А. Итак, точка М' будет равна 3/16, а точка М'' будет равна 13/16. Длина отрезка MM' (и отрезка ММ'') равна 3/8 или 0.375.

Таким образом, в первом случае длина отрезка MM' равна 0, во втором случае она не определена, а в третьем случае она равна 3/8 или 0.375.