Точка О является пересечением отрезков АВ и CD и серединой отрезка АВ. ∠ САО = ∠ DBO. Докажите, что СO = OD.

Сделаем рисунок.
Соединив хонцы хорды с центром окружности,

получим равнобедренный треугольник

с боковыми сторонами, равными радиусу окружности,

и основанием - данной в условии хордой.
Радиус r по условию √2 см
хорда АВ= D:3=2r:3=2√2):3
Проведем из центра окружности к хорде высоту ( медиану) h этого равнобедренного треугольника.

Найдем ее длину по т. Пифагора из прямоугольного треугольника АОМ,

где АО= r,

OM =h ,

AM = AB:2 

h²=r²-АМ²

AМ={2√2):3}:2=√2):3
h²=(√2)²- { √2):3}² =2- 2/9
Приведем дробную часть уравнения к общему знаменателю:
h²=(18-2):9=16/9
h=4/3 см

ответ: Расстояние от центра окружности до хорды 4/3 см

Найдите сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 10 и 8, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Вариант решения.
Опустим высоту из тупого угла. 
Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.
Боковая сторона- катет прямоугольного треугольника, образованного основанием, диагональю и боковой стороной трапеции. Обозначим ее х. Меньший отрезок на основании=1. Тогда
х²=10*1=10
х=√10 см