№4.20. 1) Докажите, что центры граней октаэдра являются вершинами куба. 2) Найдите ребро октаэдра, если ребро куба равно α. №5.23. Параллельно оси цилиндра на расстоянии 3 см от нее проведения сечение, отсекает от окружности дугу 90°. Найдите площадь полученного сечения, если высота цилиндра равна 5 см.
№5.33. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, диагональ которого равна d и образует с плоскостью основания угол γ. Сечение пересекает основание по хорде, которая видна из центра этой основания под углом α. Найдите диагональ сечения, если расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

ABCDEF  и  A₁B₁C₁D₁E₁F₁  основании усеченной пирамиды , а O и  O₁

R =AO=BO=CO=DO=EO =FO . 

R₁ =A₁O₁=B₁O₁=C₁O₁=D₁O₁=E₁O₁ =F₁O₁ . 

 Рассмотрим четырехугольник (прямоугольная трапеция)  AA₁O₁O  и 

проведем   A₁H ⊥ AO  ( H ∈ AO) . 

AH =R - R₁ =12 см -8 см =4 см   

AH =AA₁/2  (катет против угла 30° : ∠AA₁H =90° -∠A₁AH =90° -60° =30°)  ⇒ AA₁=2AH =8 см.  AA₁B₁B  равнобедренная трапеция  известно  AA₁=BB₁= A₁B₁ =8 см  , AB =12 см . Высота  A₁M этой трапеции и есть апофема. 

A₁M ⊥  AB  ,.B₁N ⊥ AB , AM=BN =(AB -A₁B₁)/2 =(12 см -8 см)/2 =2 см.

Из ΔAA₁M :  

h =A₁M  =√(AA₁² - AM²) =√(8² -2²) =√(64 - 4) =√60 =2√15 (см). 

Объяснение: теорема-признак скрещивающихся прямых...

из условия следует, что (по теореме) одна прямая (например АВ) лежит в некоторой плоскости, а другая прямая (СD) пересекает эту плоскость в точке (пусть это будет С), не лежащей на прямой АВ...

мы получили, что точки А, В, С лежат в одной плоскости и точка С не лежит на АВ... или точка В не лежит на АС... или точка А не лежит на ВС...

теперь вновь по теореме получается, что одна прямая (АС) лежит в некоторой плоскости, а другая прямая (ВD) пересекает эту плоскость в точке В, не лежащей на этой прямой...