Сторона AB прямоугольника ABCD равна 6 см, точка 0 — пересечение диагоналей, уголAOB = уголCOD = 60°. Найди диагонали прямоугольника.

ответ: 80.

Объяснение:

Построим координатную плоскость и нанесем точки А,В,С.  (смотри чертёж).

Чтобы найти площадь при таких данных, воспользуемся формулой Герона:

S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где  a, b и  c - стороны треугольника р=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника.

Но есть более простая формула:

S=1/2|(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1|);  (|  | - по модулю);

Обозначим  точки 1 - А; 2 - В; 3 - С.

Тогда S= 1/2| (4-(-6))(-8-2)-(2-(-6))(8-(-2))|=1/2| (10*(-6))-(10*10)|=1/2| (-60-100) |= 1/2 |-160|=1/2* 160=80.

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.