Дан правильный тетраэдр ABCD, на медианах, выходящих из точки D, в треугольниках ADB и BDC отмечены точки N и L соответственно, делящие медиану в отношения 1:3, начиная с вершины. Докажите, что прямые NL и HM параллельны, где H и M соответственно середины сторон AB и BC .

Правильная пирамида — это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. 

Диагонали, проведенные через центр основания данной пирамиды, делят его на 6 правильных треугольников со стороной 3 см. 

Обозначим  пирамиду ABCDEF, центр - О. 

Высота МО и половина ВО диагонали ВЕ образуют прямоугольный треугольник МОВ, острый угол МВО=45°. ⇒ Это равнобедренный треугольник, и МО=ВО=3 см. 

Объём пирамиды равен 1/3 произведения высоты на площадь основания. 

Площадь правильного шестиугольника – сумма площадей 6 правильных треугольников, площадь которых найдем по формуле:

Площадь основания 

6•9√3/4 sm²

205: Дано:

прямоугольный треугольник АВС,

угол С = 90 градусов,

АС : ВС = 12 : 5,

АВ = 39 сантиметров.

Найти катеты АС, ВС — ?

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Пусть длина катета АС = 12 * х сантиметров, а длина катета ВС = 5 * х сантиметров. Тогда по теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

АС^2 + ВС^2 = АВ^2:

(12х)^2 + (5х)^2 = 39^2;

144х^2 + 25 х^2 =1 521;

169х^2 = 1 521;

х^2 = 1 521 : 169;

х^2 = 9;

х = 3;

12 * 3 = 36 сантиметров — длина катета АС;

5 * 3 = 15 сантиметров — длина катета ВС.

ответ: 36 сантиметров; 15 сантиметров.

206: пусть х - первый катет, а y - второй:

y^2-17y+60=0  

D=289-240=

y1=12

y2=5

найдем x:                       

x=17-y                                      

x-17-12                                 x=17-5          

х = 5                                     x=12

ответ: (5;12), (12;5) 

Подробнее - на -