● Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 36 см, а его измерения относятся как 4:4:7. Найдите площадь основания параллелепипеда, если в его основании лежит квадрат ●

Α⊥β, α∩β = а.
Проведем МА⊥α и МВ⊥β.
Тогда МА = 12 см - расстояние от точки М до плоскости α,
МВ = 5 см - расстояние от точки М до плоскости β.
Затем проведем АС⊥а и ВС⊥а.
Если прямая, лежащая в одной плоскости,  перпендикулярна линии пересечения перпендикулярных плоскостей, то он перпендикулярна другой плоскости. Значит
АС⊥β и ВС⊥α.
АС║МВ и ВС║МА как перпендикуляры к одной плоскости, значит
МАСВ прямоугольник.
Прямая а перпендикулярна плоскости МАВ (а⊥АС и а⊥ВС), значит
а⊥МС.
МС - искомое расстояние от точки М до прямой а.
Из прямоугольного треугольника МАС по теореме Пифагора:
МС = √(МА² + АС²) = √(144 + 25) = √169 = 13 см

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты.

Основания равны а = 5см, в = 15 см, боковая сторона с = 13 см

Найдём высоту.

Разность оснований в - а = 10см.

Поскольку трапеция равнобедренная, то опустив высоты из вершин меньшего основания на большее основание, получим с каждой стороны по половинке  в - а,

т.е.  10/2 = 5см.

Треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания, отсечённым от него высотой, является прямоугольным. По теореме Пифагора: 13^2 = 5^2 + H^2

Откуда  H^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

Н = 12

Sтрап = 0,5 (а + в) * Н = 0,5 (5 + 15) * 12 = 120 (кв.см)