Бічні грані трикутної піраміди взаємно перпендикулярні, а їх площі дорівнюють a^2, b^2, c^2. Визначити об‘єм піраміди

Четырёхугольник АЕРС - равнобедренная трапеция.

В трапецию можно вписать окружность в том случае, если суммы её противоположных сторон равны.

То есть AЕ + РC = ЕР + АC;
В случае выполнения данного равенства окружность можно вписать в трапецию и радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции.

Радиус вписанной в трапецию окружности вычисляется по формуле:

                         r = h / 2 = √(bc) / 2                  ,

где  h - высота трапеции,
       b,c - основания трапеции.

Обозначим ЕР как х.

Тогда  (12 + х)*2 = 30,  12 + х = 15,   х = 15 - 12 = 3 см.

И получаем искомый радиус:

r = √(3*12) / 2 = √36 / 2 = 6 / 2 = 3 см.

Если начертим перпендикуляры из середины гипотенузы к катетам, то получим прямоугольник со сторонами 3 и 4. Одна из его диагоналей (диагональ = 5), проведенная к середине гипотенузы равна половине гипотенузы (по свойству радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника). Получаем, гипотенуза = 10, и ее половина = 5.Так как имеем перпендикуляры, то получаем два треугольника с катетами 3,4. Учитывая изначально получившийся прямоугольник, катеты большого треугольника равны 6 и 8. Площадь треугольника = 6*8/2 = 24