В ромбе АВСD на продолжении диагонали АС отмечены точки Т и К так, что отрезки АТ и СК равны и точки Т и К находятся вне ромба. Докажите, что ВКDТ параллелограмм. Докажите, что треугольники АDТ и ВСК равны.

Пусть С - начало координат

Ось X - CB

Ось  Y - Перпендикулярно X в сторону A

Ось Z - СС1

1)

Координаты точек

D (√13;0;√13/2)

N(3√13/4;√39/4;√13)

Вектора

СD ( √13;0;√13/2)

DN( -√13/4;√39/4;√13/2)

CD*DN = -13/4 + 13/4 =0 - перпендикулярны.

2)

Уравнение плоскости

BCC1

y=0

Уравнение плоскости

CDN

ax+by+cz=0

подставляем координаты точек D и N

√13a + √13c/2 =0

3√13a/4 + √39b/4 + √13c =0

Пусть a=1 тогда с = -2 b= 5√3/3

Уравнение

x +5√3y/3 - 2z =0

Косинус искомого угла

5√3/3 / √(1+25/3+4) = √(5/8)

Синус √(3/8)

Тангенс √(3/5)= √15/5

Проекция ребра на плоскость основания - это радиус окружности,  описанной вокруг основания. Поскольку угол между этой проекцией и ребром 45 град, то
R = h, а сторона основания а = h√3
высота треугольника-основания равна hтр = h√3 · 0.5√3 = 3h/2
площадь основания Sосн = 0,5 · h√3 · 3h/2 = h² · 3/4 · √3
апофема А = √(h²/4 + h²) = h/2 · √5
площадь боковой грани Sгр = 0,5 · h√3 · h/2 · √5 = h²· 1/4 · √15
площадь боковой поверхности Sбок = 3Sгр =  h²· 3/4 · √15
площадь поверхности пирамиды Sпов = Sосн + Sбок = h² · 3/4 · √3  + h²· 3/4 · √15 = h²· 3/4 · √3 (1 + √5)