Зачетная работа по теме «Понятие вектора» Вариант 2
1. Решите задачу на построение:
Постройте три попарно неколлинеарных вектора ⃗, ⃗⃗, ⃗.
1) Постройте: а) вектор ⃗, противоположно направленный вектору ⃗⃗;
б) вектор ⃗, сонаправленный вектору ⃗.
2) Постройте векторы: а) ⃗⃗ = ⃗ + ⃗; б) ⃗ = 2⃗ + ⃗⃗ − ⃗; в) ⃗ =
3
2

⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗3⃗⃗⃗⃗ + ⃗0⃗⃗⃗,
⃗5⃗⃗⃗⃗
2. Укажите номера верных утверждений:
1) Модуль вектора может быть любым числом
2) Два сонаправленных вектора коллинеарны
3) Два вектора называются противоположными, если они противоположно
направлены
4) От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному
5) Равные векторы могут быть противоположно направленными
6) Векторы ⃗⃗⃗ и −2⃗⃗⃗ сонаправлены
7) Длина нулевого вектора равна нулю
3. ABCD – параллелограмм. Точка О – точка пересечения
диагоналей параллелограмма. По данным рисунка
запишите:
1) Какие векторы противоположно направлены с
вектором ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2) Какие векторы равны вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3) Какие векторы коллинеарны вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение:
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) + (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
5. Дан параллелограмм ABCD. Точка О – точка пересечения диагоналей
параллелограмма. Выразите векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗
6. В прямоугольнике ABCD точка О – точка пересечения диагоналей. Найдите:
а) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
б) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
в) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|, если АВ = 2 см, а ВС = 4 см
Контрольная работа по теме «Векторы»
Вариант 2
1. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка Р так, что СР = PD, О – точка пересечения диагоналей.
Выразите векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
2. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее
основание — 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.
3. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, АВ = 9 см, D = 450
. Найдите длины
векторов ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
4. Точки К и М лежат соответственно на сторонах AВ и СD параллелограмма ABCD; AК = КВ,
СМ : MD = 2 : 5. Выразите вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
5. В треугольнике MNP точка О — точка пересечения медиан. Выразите вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы

Объяснение:

Дано точки A(2;-3) B(4;2) C (-3;3) D (-5;1) Знайти координати точок , симитричним даним відносно

а) початку координат

для того чтобы найти координаты точки симметричной данной точке относительно начала координат, надо координаты взять с противоположным знаком

A(2;-3) A'(-2;3)

B(4;2) B'(-4;-2)

C (-3;3) C'(3;-3)

D (-5;1) D'(5;-1)

б) Если А(х₁;y₁) B(x₂;y₂) и точка С(х₃;y₃) симметрична точке A относительно B то В - будет середина отрезка AC

х₂=(х₁+х₃)/2 ; y₂=(y₁+y₃)/2

x₃=2x₂-x₁; y₃=2y₂-y₁

A(2;-3) M(1;1) A"(2*1-2;2*1+3) A"(0;5)

B(4;2) M(1;1) A"(2*1-4;2*1-2) A"(-2;0)

C(-3;3) M(1;1) A"(2*1+3;2*1-3) A"(5;-1)

D(-5;1) M(1;1) A"(2*1+5;2*1-1) A"(7;1)

4. угол ВАD = 40 градусов

угол АВС = 140 градусов

угол АDC = 65 градусов

угол DCB = 115 градусов

5. угол ВАD = 60 градусов

угол АВС = 120 градусов

угол АDC = 60 градусов

угол ВСD = 120 градусов

Объяснение:

4. рассмотрим треугольник ABE:

сумма углов любого треугольника = 180 градусов.

угол ВАЕ + угол АВЕ + угол ВЕА = 180

угол ВАЕ и угол АВЕ даны.

40 + 75 + угол ВЕА = 180

угол ВЕА = 180 -75 - 40 = 65 градусов.

угол ВЕА и угол ВЕD смежные. сумма смежных углов = 180 градусов.

угол ВЕА + угол ВЕD = 180

угол ВЕD = 180 - 65 = 115 градусов.

рассмотрим параллелограмм ВСЕD. это параллелограмм, так как ВЕ || СD по условию, а ВС || ЕD, так как АВСD - трапеция.

в любом параллелограмме сумма двух прилежащих углов = 180 градусов.

угол ВЕD + угол ЕВС = 180

угол ЕВС = 180 - 115 = 65 градусов

угол ВЕD + угол ЕDC = 180

угол ЕDC = 180 - 115 = 65 градусов

угол ЕDC + угол DCB = 180

угол DCB = 180 - 65 = 115 градусов

рассмотрим угол АВС.

угол АВС = угол АВЕ + угол ЕВС

угол АВС = 75 + 65 = 140 градусов.

угол ВАЕ и угол ВАD - это разные обозначения одного угла;

угол EDC и угол ADC - это разные обозначения одного угла.

ответ: 4 угла трапеции:

угол ВАD = 40 градусов

угол АВС = 140 градусов

угол АDC = 65 градусов

угол DCB = 115 градусов

5. рассмотрим треугольник АВС.

этот треугольник равнобедренный по условию.

в любом равнобедренно треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.

угол ВАС = угол ВСА

АВС - треугольник: сумма углов = 180 градусов

угол ВАС + угол ВСА + угол АВС = 180

2 × угол ВАС + угол АВС = 180

рассмотрим трапецию АВСD. она равнобедренная, так как дано, что АВ = СD.

в любой равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

угол АВС = угол ВСD

угол ВСD = угол АСВ + угол АСD

угол АСD = 90 - это дано

угол ВСD = угол АСВ + 90

тогда

угол АВС = угол АСВ + 90

угол АВС = угол ВАС + 90

у нас получилась система уравнений:

2 × угол ВАС + угол АВС = 180

угол АВС = угол ВАС + 90

решим систему: подставим второе уравнение в первое:

2 × угол ВАС + угол ВАС + 90 = 180

3 × угол ВАС = 90

угол ВАС = 30 градусов

подставим в первое уравнение:

2 × 30 + угол АВС = 180

угол АВС = 180 - 60 = 120 градусов

Тогда и угол ВСD = 120 градусов.

в любой равнобедренной трапеции сумма противоположных углов = 180 градусов.

угол ВАD + угол BCD = 180

угол ВАD = 180 - 120 = 60 градусов

угол АВС + угол АDC = 180

угол ADC = 180 - 120 = 60 градусов

ответ: 4 угла трапеции:

угол ВАD = 60 градусов

угол АВС = 120 градусов

угол АDC = 60 градусов

угол ВСD = 120 градусов