Завдання 1. Дано куб ABCDA1B1C1D1 з ребром a; О – точка перетину діагоналей грані ABCD.
а)До яких ребер куба перпендикулярна пряма АС?
б)Визначте взаємне розміщення прямих A1O i BD
в)Доведіть, що пряма B1D1 перпендикулярна до площини АА1С1
г)Через точку М на ребрі АВ проведіть пряму, перпендикулярну до діагоналі АС
д) Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через середину ребра АВ
перпендикулярно до прямої АС. Обчисліть площу цього перерізу.
Завдання 2.
Як перевірити за до вимірювань, чи є перпендикулярною до підлоги лінія, по якій з’єднуються дві суміжні стіни кімнати?

Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О.
ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО)
ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО)
ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО)
ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО)
Оскільки  Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також  в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО.
А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме
ОК=ОР, а ОН=ОМ.
Виходить, що  ОН=ОМ=4 см та ОК=ОР=9 см (по умові задачі сказано, що точка перетину його діагоналей віддалена від його сторін на 4 см і на 9 см).

У прямокутника протилежні сторони рівні.
АВ=СД=ОН+ОМ=4+4=8 см
ВС=АД=ОР+ОК=9+9=18  см
Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника
Периметр = АВ+ВС+СД+АД
Отже
Периметр = 8+18+8+18=52 см

Відповідь: периметр прямокутника=52 см

Тут два варианта расположения точки Р и, соответственно, два варианта решения задачи:
1). Точка Р расположена на прямой АВ за точкой В и АР=АВ+ВР=20+30=50 см, тогда расстояние между серединами отрезков АР и ВР будет равно (АР-ВР)/2=(50-30)/2=10 см.
2). Точка Р расположена на прямой АВ за точкой А и отрезки АВ и ВР частично накладываются друг на друга, АР=ВР-АВ=30-20=10 см, тогда то же расстояние будет равно (ВР-АР)/2=(30-10)/2=10 см.
ответ: независимо от расположения точки Р расстояние между отрезками АР и ВР будет 10 см.