В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны AD, LACB = 100° (см. рис. 82). Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Из заданного соотношения длин сторон треугольника АВС имеем:

АВ = 1, АС = (3/2)АВ, ВС = (4/3)АВ.

Приводим к общему знаменателю и представляем длины сторон подобного треугольника в целом виде: А1В1 = 6, А1С1 = 9, В1С1 = 8.

Находим углы этого (они же и у заданного) треугольника по теореме косинусов :  cosα = (b²+c²−a²)/2bc.

Подставив данные длин сторон треугольника А1В1С1, находим:

cos A = 0,490741,

cos B = 0,1979167,

cos C = 0,756944.

Соответственно углы равны:

A = 1,057857 радиан или 60,61072 градусов,

B = 1,371564                         78,584842,

C = 0,712172                         40,804438.

Отсюда находим угол Q1D1B1 по сумме углов смежного треугольника:  ∠Q1D1B1 = (1/2)∠А + ∠С = 71,109798  градуса.

Теперь переходим к длинам треугольника Q1D1B1.

Длина B1D1 по свойству биссектрисы р = ((ас)/(b + c)) равна:

B1D1 = p = (8*6)/(9 + 6) = 48/15 = 16/5 = 3,2.

Отрезок С1D1 = q = 8 - 3,2 = 4,8.

Находим длину биссектрисы А1D1:

A1D1 = √(bc - pq)  = √(9*6 - 3,2*4,8) = √38,64 ≈   6,216108.

Биссектриса А1D1 делится точкой пересечения с биссектрисой В1Е1 в отношении (b + c)/a. Отсюда находим длину Q1D1.

Q1D1 = A1D1*(a/(a + b +c)) = 6,216108*(8/23) = 2,162125.

Теперь можно определить площадь подобного треугольника Q1D1B1 по двум сторонам и углу между ними.

S(Q1B1D1) = (1/2)*2,162125*3,2*sin71,109798° = 3,273079.

Находим коэффициент"к" пропорциональности треугольников QBD и  Q1B1D1:

к =√(S(QBD)/S(Q1B1D1)) = √(1/3,273079) = 0,552741.

По этому же коэффициенту находим длины сторон треугольника АВС.

Площадь АВС = 7,1875 А1В1 = В1С1 = А1С1 = Р = 12,713046

AB =3,316447

BC =4,421929

       AC =4,974670/

Площадь АВС находим по формуле Герона.

       Р = 12,713046,         р = 6,356523.

       S(АВС) = 7,1875 кв.ед.

Проверяем соотношение длин сторон:

  1 1,3333 1,5  

    1 4/3        3/2. Соответствует заданному.

ответ: площадь АВС = 7,1875 кв.ед.  

Ромб ABCD, точка пересечения диагоналей О, К - точка на стороне АВ.
АК=2
ВК=8
1- рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. У него АВ=10см (т. к. АК+ВК=2+8=10). А катеты АО и ВО примем АО=х, ВО= у
2- из теоремы пифагора (квадрат гипотенузы (АВ^2) равен сумме квадратов катетов (АО^2+ВО^2)) ( X)^2 означает X в квадрате
т. е. АВ^2=AO^2+BO^2. подставим нашу замену получим 10^2=x^2+y^2, 100=x^2+y^2
3- рассмотрим прямоугольный треугольник AOK. Его стороны это АК=2, ОК и АО=x
в нем тоже по теореме пифагора получаем: AO^2=AK^2+OK^2, подставим значения получим x^2 = 2^2 + OK^2 x^2 = 4 + OK^2
4- рассмотрим прямоугольный треугольник BOK. Его стороны это BК=8, ОК и BО=y
в нем тоже по теореме пифагора получаем: BO^2=BK^2+OK^2, подставим значения получим y^2 = 8^2 + OK^2 y^2 =64 + OK^2

Рассмотрим уравнения из пункта 3 и 4
x^2 = 4 + OK^2
y^2 =64 + OK^2
Выразим из каждого OK^2, получим
OK^2=x^2-4
OK^2=y^2-64
получаем
x^2-4=y^2-64
x^2=y^2-60
Решим теперь систему уравнений
x^2=y^2-60
100=x^2+y^2 (уравнение из пункта 2)
Подставим полученное x^2 в уравнение из пункта 1, получим систему
x^2=y^2-60
100=y^2-60+y^2

x^2=y^2-60
2*y^2=160

x^2=y^2-60
y^2=80
Теперь подставим y^2=80 в первое уравнение системы, получим систему

x^2=80-60
y^2=80

x^2=20
y^2=80
__
x=2 V 5 (два корня из пяти)
__
y=4 V 5 (четыре корня из пяти)

ответ: __ __ __ __
Диагонали ромба это АС=2*x = 2*2 V 5 = 4V 5 и BD=2*y= 2*4 V 5 = 8 V 5