1. Діагональ BD рівнобічної трапеції ABCD (BC || AD) утворює з основою AD кут 45°. Висота ВК трапеції дорівнює 8 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
Его можно рассматривать, как 2 соединённых треугольника вершинами в разные стороны.
Тогда линия, соединяющая 2 соседние стороны ромба - это средняя линия треугольника и она параллельна основанию, то есть диагонали.
Аналогично, рассматривая второй треугольник, у него тоже средняя линия параллельна основанию и паралленльна первой линии.
Теперь можно перейти к другой  диагонали и получит аналогичный результат  - линии, соединяющие середины ромба, параллельны между собой и диагоналям.
То есть, между ними углы по 90 градусов - это и есть доказательство того, что если последовательно соединить середины сторон ромба, то получится прямоугольник.

вот вам рисунок

Решение очень простое - вся "хитрость" в том, что угол О1АО2 (между пунктирными прямыми) равен 90 градусам. Дело в том, что О1А и О2А - биссеткриссы смежных углов (почему биссектрисы, - это понятно? обоснуйте), а сумма смежных углов 180 градусов. Ну, сумма половин смежных углов (то есть сумма угла О1АВ и угла О2АВ) дает 90.

Таким образом, трегольник О1АО2 - прямоугольный, и АВ - высота к гипотенузе. 

Дальше - очень полезное "заклинание" - хотя и очень простое. 

Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, подобные ему - и между собой тоже, конечно. 

Поэтому

О1B/АВ = АВ/О2В;

О1B = АВ^2/O2B = 6^2/4 = 9;