Дано вектори a(1;2) b(-2;-3) ,знайти модуль акторів a+b

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а  НМ, то а  АМ, і навпаки, якщо а  АМ, то а  НМ.

Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК  АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD  DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD  DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).

Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК  АВС (мал. 417).2) КМ  АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ  АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку 

В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен 3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

      * * * 

Решение.

Двугранный угол измеряется величиной линейного угла между двумя лучами, проведенными перпендикулярно к одной точке ребра двугранного угла. 

 Боковая грань правильной пирамиды - равнобедренный треугольник.  Апофема МН и высота  СН основания перпендикулярны ребру АВ в его середине Н.  АН=ВН. 

Угол МНС - линейный  угол двугранного угла при основании пирамиды. 

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания - точку пересечения его медиан ( высот, биссектрис). 

Высота пирамиды МО - перпендикулярна плоскости основания,⇒ 

 МО⊥СН. 

∆ МОН - прямоугольный, КО - его медиана. 

По свойству медианы прямоугольного треугольника МК=КН=КО=3, ⇒ МН=2•3=6

По условию ∠КНО=60°.

 В ∆ КОН стороны КО=НК ⇒ НО=КО=3 

СН медиана и высота основания АВС, 

 Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 

СН=3•ОН=9.

S ∆ ABC=CH•AB:2=0•6√3:2=27√3

S бок=3•МН•AB:2=3•6•6√3:2=54√3

Sполн=27√3+54√3=81√3 (ед. площади)