1. У чотирикутнику АВСД АД = 32см, СД = 36см, АВ : ВС = 4 : 5 і АВ + ВС = 72см. Чи можна у цей чотирикутник вписати коло?
2.У рівнобедренному трикутнику основа дорівнює (3х - 20) см, а середня лінія,
паралельна їй, (х + 4) см. Знайдіть бічну сторону, якщо периметр трикутника дорівнює 204 см.
3.У прямокутній трапеції основи дорівнюють 12 см і 20 см. Знайдіть більшу бічну сторону трапеції,
якщо кути при ній відносяться як 1 : 2.

Объяснение:

№5

Вариант 1.

По теореме: отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Исходя из этого:

АК=СК

ВК=DK

Так как

АВ=АК–ВК

СD=CK–KD

То:

АВ=СD.

Вариант 2.

Вариант 2.Проведём АС и BD.

По теореме: отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Тогда:

СК=АК

КВ=КD

Углы АКС и ВКD равны как вертикальные. Пусть каждый из них равен Y.

Рассмотрим треугольник АКС

СК=АК

Тогда треугольник равнобедренный с основанием АС.

Тогда угол АСК=(180–Y)÷2

Рассмотрим треугольник ВКD.

КВ=КD

Тогда треугольник равнобедренный с основанием BD

Тогда угол BDK=(180°–Y)÷2

Следовательно угол BDK=угол АСK.

Тогда АС||ВD, а углы BDC и АСD накрест-лежащие при параллельных прямых АС и ВD и секущей СD.

АВСД - равнобокая трапеция, S(АВСД)=32 (дм²)²  , ∠А=∠Д=30°
Опустим перпендикуляры ВМ и СК на АД.
Обозначим для простоты изложения АД=а , ВС=b , AB=c , BM=h .
ΔАВМ - прямоугольный , h=0,5*АВ=0,5с=c/2
S=(a+b)/2 ·h=32  ⇒ (a+b)·h=64  ⇒  (a+b)·(c/2)=64  ⇒  (a+b)·c=128
Cредняя линия в равнобокой трапеции  равна  (a+b)/2=(2c)/2
(a+b)/2=c  ⇒  a+b=2c
(a+b)·c=128  ⇒  2c·c=128 ⇒  2c²=128  ⇒  c²=64  ⇒  c=8  ⇒  h=c/2=4
AM=√(AB²-BM²)=√(8²-4²)=√48=4√3=ДК
a+b=2c  ⇒  a+b=16  ⇒  a=16-b
но  a=b+AM+ДК=b+2·4√3=b+8√3
16-b=b+8√3  ⇒   2b=16-8√3  ⇒b=8-4√3
 a=16-(8-4√3)=8+4√3
 Стороны трапеции равны 8, 8-4√3 , 8 , 8+4√3 .