Все этапы построения показаны на рисунках приложения.
Этап 1) Вне прямой а отмечаем точку О.
Из О на прямой а с циркуля произвольного традиуса отмечаем точки 1 и 2.
Из этих точек, как из центров, проводим две окружности так, чтобы они пересеклись по разные стороны от прямой а. Соединим точки пересечения окружностей прямой. Точку пересечения этой прямой с прямой а обозначим 3.
–––––
Этап 2) Из т.О радиусом, равным длине отрезка О3, проведем окружность.
Из т.3 тем же радиусом на проведенной окружности отметим точку 4. Стороны треугольника 4О3 равны радиусу, он - равносторонний, поэтому угол 4О3=60°
––––––––––
Этап 3) Продлим радиус О4 (удобно продлить на его длину) и отметим точку 5. Для данной задачи точка 5 будет лежать на прямой а, т.к. в прямоугольном ∆ 3О5 с острым углом при т.О=60° гипотенуза О5 равна двум радиусам ( двум катетам О3).
Общепринятым построения перпендикуляра к прямой проведем прямую, проходящую через т.4 и перпендикулярную к отрезку О5 (чертим окружности с центрами в т.О и т.5, точки их пересечения 6 и 7 соединяем). Отмечаем прямую а1. Она перпендикулярна радиусу О4 и повёрнута вокруг т.О на 60° по часовой стрелке.
Рисунок - во вложении.
Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то
для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.
Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.
Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).
Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).
