Сторона параллелограмма равна 7см а высота опущенная на эту сторону равна 9см

Позначимо D і E проекції точок C₁ і D₁ на пряму AC. Тоді з рівності 

B₁B = -BB₁=AA₁+CC₁ для проекцій на пряму АС одержимо рівність:

AE +CD =0. Оскільки AE = AD + DE і CD = CE + DE, знаходимо що AD + CE =0, тобто  AD = EC. Звідси, |AD| = |EC|.
 
 З прямокутних трикутників AC₁D і ACC₁, маємо: |AD| = |AC| *cos²∠ A;

|EC| = |AC| *cos²∠ C. Оскільки |AD| = |EC|,то cos²∠ A=cos²∠ C. Аналогічно доводиться, що cos²∠ A = cos²∠ B.

Звідси випливає що ∠ A=∠ B=∠ C, тобто трикутник АВС - правильний.

Що й треба було довести.

В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.В нашем случае высота трапеции равна 2*r=8см.Пусть при этом трапеция будет равнобочной. Тогда боковая сторона должна быть равна (3+15):2=9см. Рассмотрим равнобедренную трапецию. При наших условиях боковая сторона будет равна √((15-3):2)²+8²)=10. Сумма боковых сторон будет 20, а сумма оснований 18.  Если рассмотреть прямоугольную трапецию с одной боковой стороной равной высоте трапеции 8см, то вторая боковая столрона будет равна √((15-3)²+8²)=14,4. Сумма боковых сторон будет еще больше суммы оснований.Значит, радиус вписанного круга не может быть равным 4см.