Из середины М основания АС равнобедренного треугольника АВС опущен перпендикуляр МN на сторону ВС. Точка Р-середина отрезка MN. докажите, что MN перпендикулярна

Можно задать встречный вопрос:
какая единица измерения была первой?
может быть радиан придумали раньше...
угол в 1 радиан (от слова радиус) --это такой центральный угол окружности, который вырезает из окружности дугу, равную радиусу
(вне зависимости от длины радиуса... это всегда один и тот же угол))
мне кажется, что много вычислявшие египтяне просто заметили некоторую закономерность, верную для любой окружности: если длину окружности разделить на ее диаметр, то получится всегда одно и то же число, примерно равное 3.14...
аналогичный вопрос:
почему градусов именно 360 в окружности, не 10, не 100 (что было бы логичнее при десятичной системе счисления...)

Из правильного треугольника АВС: из теоремы Пифагора: высота ВК равна 3 корня из 2. Угол ОАК  - это угол между плоскостью АОС и основанием. Поскольку угол ОАК = 30 градусов, то катет ОК равен гипотенузы ОА как катет, который лежит против угла 30 градусов. ОК = ОА/2. Пускай ОК = х, тогда ОА = 2х. Из прямоугольного треугольника ОАК: за теоремой Пифагора: OA^2 = OK^2 + AK^2, 4x^2 = 9 - x^2, 3x^2 = 9, x^2 = 3, x = корень из 3. OK = корень из 3. Объем призмы равен площади основания умножить на высоту: S = So*H = S(ABC)*OK = BK*AC/2*OK = 9 корней из 6.