Даны векторы −→−{−11;6} и −→−{5;10}.
Вычисли: 3⋅−→−−10⋅−→−.

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.                                                                                                      

На ребрах AB и CB треугольной пирамиды DABC отмечены точки М и N, AM:MB=CN:NB=3:1. P и Q - середины ребер DA и DC. В каком отношении плоскость PQM делит пирамиду?

PQ||AC, MN||AC (по т о пропорциональных отрезках) => PQ||MN

Через две параллельные проходит плоскость PQMN

Рассмотрим пирамиду с основанием AMNC и вершиной P.

△MBN~△ABC, k=MB/AB=1/4

S(MBN)/S(ABC) =k^2 =1/16 => S(AMNC)/S(ABC) =15/16

Высоты из P и D на (ABC) относятся 1:2

V(PAMNC)/V(DABC) =15/16 *1/2 =15/32

Рассмотрим пирамиду с основанием QNC и вершиной P.

S(QNC)/S(DBC) =CQ*CN/CD*CB =CQ/CD *CN/CB =1/2 *3/4 =3/8

Высоты из P и A на (DBC) относятся 1:2

V(PQNC)/V(ADBC) =3/8 *1/2 =3/16

V(PAMNC)+V(PQNC) =(15/32 +3/16) V(DABC) =21/32 V(DABC)

Плоскость PQM делит пирамиду DABC в отношении 11:21.

Большая часть 21/32 от объема DABC.