1. Даны координаты вектора и конечной точки этого вектора. Определи координаты начальной точки вектора. AB−→−{3;−3}.

B(3;−10); A(
;
).
2. Даны координаты вектора и начальной точки этого вектора. Определи координаты конечной точки вектора.

MN−→−{7;−6}.

M(−6;5); N(
;
).

1) Концы отрезка, который не пересекает плоскость, отдалены от нее на 3 см и 8 см. Проекция отрезка на плоскость равна 12 см. Найти длину отрезка. 

-----

Обозначим отрезок АВ. Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка, проведенного к ней перпендикулярно. 

АА1 и ВВ1 перпендикулярны плоскости, следовательно, перпендикулярны В1А1. 

АА1║ВВ1, 

АВВ1А1 - прямоугольная трапеция. 

ВВ1=3 см.АА1=8 см,

ВС║В1А1 ⇒ А1С=ВВ1=3 см, АС=8-3=5 см. 

ВС=В1А1=12 см. 

Катеты прямоугольного ∆ АВС относятся как 5:12 - треугольник из Пифагоровых троек, ⇒гипотенуза АВ=13 см. 

                    * * *

2) Из точки, которая находится на расстоянии 6 см от плоскости, проведены две наклонные. Найти расстояние между основаниями наклонных, если угол между каждой наклонной и ее проекцией равен 30°, а угол между проекциями наклонных 120°. 

-------

Наклонные АВ и АС,  расстояние до плоскости АН=6 см,  ∠АВН=∠АСН=30°

ВН=СН=АН:tg30°=6√3

∆АНС равнобедренный, угол ВНС=120° ( дано). 

Проведем высоту НМ к основанию ВС. Высота в равнобедренном треугольнике - биссектриса и медиана. ⇒ ∆ ВНМ=∆ СНМ, ∠ВНМ=СНМ=60°

ВМ=ВН•sin60°=6√3•√3/2=9 

BC=2•BМ=18 см (по т.косинусов ВС также равно 18 см)

                     * * * 

3) Из вершины А прямоугольника АВСD со сторонами 7 см и 14 см к его плоскости проведен перпендикуляр АМ=7 см. Найти расстояние от точки М до прямых DС и DB.

--------

Примем АВ=14 см, АD=7 см. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной отрезка, проведенного перпендикулярно от точки до прямой. По т. о 3-х перпендикулярах МD пп DC, МВ пп ВС.

В прямоугольном ∆ MAD катеты равны, следовательно, он равнобедренный с острыми углами, равными 45°. 

MD=AD:sin45°=7√2.

Из прямоугольного ∆ МАВ расстояние МВ=√(AB²+AM²)=√(196+49)=7√5 см

Расстояние от М до BD отрезок МН, перпендикулярный диагонали ABCD.

По т. о 3-х перпендикулярах МН⊥DB,⇒ его проекция АН⊥DB.

АН=AD•AB:BD

∆ ADB=∆ MAB по двум катетам,⇒ DB=MB=7√5

AH=7•14:7√5=14/√5

MH=√(AM²+AH²)=√(441/5)=21/√5=4,2√5 или ≈ 9,39 см

АВСДА1В1С1Д1 - правильная призма. Основаниями правильной четырехугольной призмы являются квадраты.
Найдем сторону этого квадтара (ребро при основании)
АВ = √18 = 3√2 см
ВД1 - диагональ призмы.
Найдем ВД - диагональ основания
ВД = 3√2 * √2 = 6 см
Так как диагональ ВД1 наклонена к плоскости основания по углом 45, то треуг. ВВ1Д1 прямоугольный и равнобедренный. Высота призмы ВВ1 = ВД = 6 см.
Площадь боковой поверхности цилиндра, описаного около призмы равна произведению длины окружности в основании на высоту цилиндра.
Высота цилиндра равна высоте призмы, т.е. 6 см.
Диаметром окружности является диагональ основания призмы ВД.
S (боковое) = П * 6 * 6 = 36*П см.