В равностороннем треугольнике FBH: BD – медиана, FH = 4. Найдите скалярное произведение векторов BD и BF.

Дан треугольник с вершинами А (-1;4 ), В (-2;-4), С (6;3).

Угол А - это угол между прямыми АВ и АС.

Используем формулу определения тангенса угла между прямыми по их угловым коэффициентам.

Для этого находим угловые коэффициенты к прямых АВ и АС.

А (-1;4 ), В (-2;-4), С (6;3)

к(АВ) = Δу/Δх = (4-(-4))/(-1-(-2)) = 8/1 = 8. Это к_2

к(АС) = (4-3)/(-1-6) = 1/(-7) = -1/7.                Это к_1

tg φ = |(к_2 - к_1)/(1 + к_1*к_2)| = |(8 - (-1/7))/(1+8*(-1/7))| = 57.

φ = arc tg 57 = 1,553254267  радиан = 88,99491399°.

Угол между плоскостью основания и противолежащей вершиной другого основания - это угол ОКС. Поскольку все ребра перпендикулярны основаниям, то треугольник КОС - прямоугольный с прямым углом С. И поскольку угол ОКС = 30 градусов, то катет ОС равен половине гипотенузы ОК как катет, что лежит против угла 30 градусов. ОК = 2СО = 6*2 = 12 см. Из теоремы Пифагора: CK^2 = OK^2 - OC^2, CK^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108, CK = 6 корней из 6. Из правильного треугольника АВС: высота СК = 6 корней из 3, которая является также и медианой, поэтому АК = КВ = СВ/2. Из прямоугольного треугольника СКВ: угол СВК = 60 градусов как угол правильного треугольника. По теореме синусов: СК/sin(CBK) = CB/sin(CKB), CB = 12. Площадь треугольника равна 36 корней из 3 см^2. Объем призмы равен площади основания, умноженного на высоту: V = So*H = S(ABC)*OC = 108 корней из 3 см^3.