Контрольна робота № 2 з теми «Вписані та описані чотирикутники. Середні лінії трикутника і трапеції»
1. Точки А, В, С належать колу з центром у точці О. < АСВ = 280. Знайдіть градусну міру дуги АВ. (1б)
2. Коло описане навколо трикутника АВС. Знайдіть градусну міру < ABC. (1б)
3. Чотирикутник ABCD вписаний в коло. Знайдіть 4. Яка з наведених рівностей має виконуватись, щоб чотирикутник ABCD можна було описати навколо кола? (Оберіть тільки одну правильну відповідь). а) 5. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 16 см, а гіпотенуза – 20см. Знайдіть відстань від середини гіпотенузи до більшого катета. (2б)
6. Основи трапеції відносяться як 5 : 3. Середня лінія трапеції 12 см. Знайдіть довжину кожної основи трапеції. (2б).
7. Коло вписано в рівнобічну трапецію. Периметр трапеції дорівнює 22 см. Знайдіть довжину бічної сторони трапеції. (2б)
8. У чотирикутнику ABCD точки M, N, P, K відповідно середини сторін AB, BC, CD, AD. Доведіть, що відрізки PM і KN точкою перетину діляться навпіл.

Так как треугольник ABC - равнобедренный ( по условию ) медиана AH, равная 8 см, будет являться также высотой и биссектрисой. Треугольник ABH - прямоугольный, AB = 10 см,

AH = 8 см. По теореме Пифагора: BH ² = AB ² - AH ²

                                                                 BH ² = 10 ² - 8 ² = 100 - 64 = 36

                                                                 BH = 6 см.

BH - половина BC => BC = 12 см. Треугольник BCC1 - прямоугольный. По теореме Пифагора находим высоту призмы: CC1 ² = BC1 ² - BC ²

                                                                    CC1 ² = 13 ² - 12 ² = 169 - 144 = 25.

                                                                    CC1 = 5 см.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S * h

Высоту мы уже нашли - осталось найти площадь основания.

Треугольник ABC содержит в себе два прямоугольных треугольника => площадь ABC равна сумме площадей этих треугольников. S ABH = 8 * 6 * 0,5 = 24 см ². Площадь второго треугольника тоже равна 24. Значит S ABC = 24 + 24 = 48 см ².

V = 48 * 5 = 240 см ³.

P.S: Приношу извинения за кривой рисунок, рисовал в паинте :)

Объем призмы находится по формуле: V = S * h, где S - площадь основания, h - высота призмы.

Для того, чтобы найти площадь правильного шестиугольника, нужно найти его сторону.
Сторона шестиугольника равна радиусу его описанной окружности.

Треугольник F1C1C - прямоугольный => cos α = F1C1 / F1C
                                                                             cos α = F1C1 / l
                                                                             F1C1 = l * cos α

F1C1 - диаметр описанной окружности. R = OC1 = (l * cos α) / 2
Соединив точку О со всеми вершинами шестиугольника A1B1C1D1E1F1 мы получим шесть равных равносторонних треугольников.
Значит площадь шестиугольника равна шести площадям этих треугольников.
Площадь треугольника находим по следующей формуле:

S = 0,5 * a * b * sin α, где α - угол между сторонами a и b.
Так как мы находим площадь равностороннего треугольника α будет равен 60°.

S BOC1 = 0,5 * ((l * cos α) / 2) * ((l * cos α) / 2) * sin 60° = 0,5 ((l ² * cos ² α) / 4) * (√3) / 2 = ((√3) * l ² * cos ² α) / 16.

S A1B1C1D1E1F1 = S BOC1 * 6 = (( (√3) * l ² * cos ² α) / 16) * 6 = (3 * (√3) * l ² * cos ² α) / 8.

Высоту CC1 можно вычислить из треугольника F1C1C - sin α = C1C / F1C
                                                                                                           sin α = C1C / l
                                                                                                           C1C = l * sin α

V = ((3 * (√3) * l ² * cos ² α) / 8) * (l * sin α) = (3 * (√3) * l ³ * cos ² α * sin α) / 8.