Точка М лежить поза кутом АОВ, промінь ОС — бісектриса цього кута. Доведіть, що кут МОС дорівнює півсумі ку­ тів АОМ і ВОМ.

Диагональ ВD делит трапецию на два прямоугольных треугоьника АВD и ВDС.
Так как сумма углов ВАD и ВСD равна 90°. и в то же время сумма острых углов этих треугольников также равна 90°, то угол АВD=ВСD,
значит, и ∠ВDС=∠ВАD. 
Треугольники АВD и ВDС подобны. 
Из их подобия 
АD:ВD=ВD:ВС
ВДD²=2 ВС
Из треугольника ВСD по т. Пифагора 
ВС²=СD²-ВС²
Но ВD²=2ВС
Произведя в уравнении замену, получим:
2 ВС=СD²-ВС² ⇒
ВС²+2ВС-25=0
Решим квадратное уравнение.
D=b²-4ac=2²-4·1·(-25)=104
ВС₁=(-2+2√26):2=√26-1≈  4,099
Второй корень отрицательный и не подходит. 
По т.Пифагора найдем  ВD.
ВD²=2ВС=8,198
Из С параллельно ВD опустим отрезок С до пересечения с продолжением АD в точке Н. 
В прямоугольном треугольнике АСН гипотенуза
АН=АD+DН 
DН=ВС=4,099
СН²=ВD²= 8,198
АС²=АН²+СН²=(2+4,099)²+8,198
АС²≈45,3958
АС≈6,7376
----
[email protected]

1) 18 см².

2) а) 225 см²; б) 15 см.

3) 36 см.

Объяснение:

1. S=ah. h - высота. h= ВН=AB*Cos45° =3*√2/2;

S=6√2*3√2/2=18 см².

***

2. Пусть АВ=9х. Тогда ВС=25х.

Р(AВСD) =2(AB+BC);

2(9x+25x)=68;

34x=34;

x=1;

AB=9*1=9 см.

ВС=25*1=25 см.

а) S= ah=25*9= 225 см².

б) S (квадрата )=а²; а²=225 см² ; а=√225=15 см.

***

3. S=ah, где а - сторона параллелограмма, h=2см (или 7 см).

Найдем основание AD (или CD).

S=28 см²;  

2*AD=28;

BC=AD=28/2=14 см.

CD*7=28; AB=CD=28/7= 4 см.

Р(ABCD)=2(AB+BC)=2(4+14)=2*18=36 см.