Докажи, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты A(13;4), B(19;8), C(15;14) и D(9;10), является квадратом; найди его площадь.   SABCD

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, мы должны проверить следующие условия:

1. Длины сторон четырехугольника ABCD должны быть равны.
2. Углы, образованные сторонами четырехугольника ABCD, должны быть прямыми.

Давайте проверим оба этих условия.

1. Проверка длин сторон:

Для этого мы будем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина стороны AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((19 - 13)² + (8 - 4)²) = √(6² + 4²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13

Длина стороны BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((15 - 19)² + (14 - 8)²) = √((-4)² + 6²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13

Длина стороны CD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((9 - 15)² + (10 - 14)²) = √((-6)² + (-4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13

Длина стороны DA = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((13 - 9)² + (4 - 10)²) = √(4² + (-6)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13

Как видно из вычислений, длины всех четырех сторон ABCD равны 2√13. Условие 1 выполнено.

2. Проверка углов:

Чтобы доказать, что углы ABC, BCD, CDA и DAB являются прямыми, мы можем использовать теорему о том, что если произведение наклонов двух отрезков равно -1, то они перпендикулярны.

Наклон отрезка AB: m(AB) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (8 - 4)/(19 - 13) = 4/6 = 2/3

Наклон отрезка BC: m(BC) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (14 - 8)/(15 - 19) = 6/-4 = -3/2

Наклон отрезка CD: m(CD) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (10 - 14)/(9 - 15) = -4/-6 = 2/3

Наклон отрезка DA: m(DA) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 10)/(13 - 9) = -6/4 = -3/2

Мы видим, что произведение наклонов отрезков AB и CD равно (2/3) * (2/3) = 4/9, а произведение наклонов отрезков BC и DA также равно (-3/2) * (-3/2) = 9/4. Оба значения равны -1. Условие 2 также выполнено.

Таким образом, по условию 1 и условию 2 мы доказали, что четырехугольник ABCD является квадратом.

Теперь найдем площадь квадрата ABCD. Мы знаем, что все стороны равны 2√13, поэтому можем использовать формулу для площади квадрата:

S = a² = (2√13)² = 4 * 13 = 52.

Ответ: Площадь квадрата ABCD равна 52.