Каждый студент сам придумывает координаты четырех точек А, В, С и D, которые являются вершинами пирамиды. Условие: среди 12 чисел может быть максимум 3 нуля, причем любые три точки не лежат в плоскости, параллельной координатной, и ни одна точка не совпадает с началом координат. Требуется, используя векторы, найти следующее. Длины всех ребер пирамиды. Углы основания (треугольника АВС). Площадь этого треугольника. Объем пирамиды. Высоту пирамиды. Угол между ребром АD и основанием. Уравнение плоскости, где лежит основание. Двугранный угол между треугольниками АВС и АВD. Уравнения прямой, где лежит ребро АD. Уравнения прямой, где лежит высота. Координаты точки пересечения высоты и основания. Даю 50б

Согласно обратной теореме Фалеса, прямая ED параллельна прямой BC.
Пусть F - точка пересечения прямых ED и AM. Треугольник AED - равнобедренный (AE=AD, т.к. ЕС и ВD - медианы треугольника ВАС.). Рассмотрим треугольники AEF и AFD:
AE=AD, т.к. ЕС и ВD - медианы треугольника ВАС.
AF - общая сторона
углы AED и ADE равны как углы равнобедренного треугольника AED.
Следовательно треугольники EFA и AFD равны по первому признаку.
Значит AF является для этого треугольника биссектриссой, медианой и высотой. Отсюда следует, что AF⊥ED. Т.к. точка Fявляется точкой пересечения прямых ED и AM( F∈AM), то прямая AM⊥ED и т.к. ED║BC, то AM⊥BC.

Здесь нужно применить формулу нахождения площади через диагонали.
S=1/2 D1*D2* sinα, где D 1 и 2 - диагонали, альфа - угол между ними.
Теория:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 
Дано: АВСД - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей АС и ВД.
∠ВАС=5*∠CАД
Найти: S-?
Решение: ∠ВАС+∠САД=90°   5*∠САД+∠САД=90   6*∠САД=90   ∠САД=15°    ∠ВАС=75°
АВО - равнобедренный треугольник ∠А=∠В=75°. ∠С=180-(75+75)=30°.
Это и есть угол между диагоналями. Синус 30 град. = 1/2.
Теперь,   S=1/2 *6*6* 1/2=⇒  S=9