Даны два вектора m{-1; 2} и n{4;-x}. Найдите: а) При каких значениях x прямые, содержащие данные векторы, коллинеарны?
б) При каких значениях x прямые, содержащие данные векторы, перпендикулярны?
в) При каких значениях x прямые, содержащие данные векторы, образуют тупой угол?
Решение
а) Два вектора коллинеарные ,если их координаты пропорциональны, значит для m{-1; 2} и n{4;-x} имеем -1:4=2:(-х) , х=8;
б)Вектора перпендикулярны , если их скалярное произведение равно нулю : m*n=-1*4+2*(-х) , -1*4+2*(-х) =0 , x=2;
a) Угол будет тупым , если cos(∠m;n) <0 .Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.
Найдем длины векторов:
Длина вектора |m|=√( (-1)²+2²)=√(1 +4)=√5,
Длина вектора |n|=√( 4²+(-x)²)=√(16+x²),
Скалярное произведение m*n=-1*4+2*(-х)=-4-2x
(-4-2x)/ (√5*√(16+x²))<0/Значение дроби отрицательно , числитель и знаменатель разных знаков. Но √5*√(16+x²)>0 при х≠±4, тогда -4-2х<0 или х>2. Тогда учитывая х≠4 получаем х∈(2;4)∪(4;+∞).
