Чертим прямоугольник ABCD, в котором AB=CD = a - меньшие стороны. Угол BOA=60*.
Диаметр описанной окружности - это длина диагонали данного прямоугльника. Ее и будем искать.
1) Рассм треуг АОВ ( в нем уг О=60*). Этот треуг - р/б, так как диагонали прямоуг равны и точкой О делятся пополам. (ВО=АО). След углы при основании р/б треуг АОВ равны. Найдем их: уг А=уг В = (180-60):2=120:2=60*. След треуг АОВ - равносторонний АО=ВО=АВ=а.
2) Диагональ прямоугольника АС=2*АО, АС=2а= d окружн
ответ: 2а - диаметр опис около прямоуг окружности
(5) (6) . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е. 720o , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: (6) (5) – очевидно. (4) (8) . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса .
(8) (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1 , то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы.
(8) (6) . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC = BDC , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,
