AM и CN - высоты треугольника ABC . Площади треугольников BMN и ABC равны соответственно 9 и 25, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN, равен 3. Найдите сторону AC.

Пусть Н-проекция высоты на основание, она лежит на гипотенузе , так как грань . проходящая через гипотенузу-по условию перпендикулярна основанию.
Опуская перпендикуляры из Н к катетам основания-получаю НН1 и НН2.
С высотой пирамиды НS они образуют прямоугольные треугольники.
В этих треугольниках SH-общая высота и одинаковый угол бетта по условию.
Учитывая что высота в них может быть выражена SH=HH1*tgβ=HH2tgβ-следует 
что НН1=НН2.
   Теперь надо выразить это НН1 через а и ∠α. Н делит гипотенузу на две части b и a-b, выражу b через а...-второй рисунок
    Высота пирамиды HS=HH1*tg β=a*sinα*cosα*tgβ/(sinα+cosα)
Площадь основания S(осн)=a^2*sinα*cosα/2
Тогда объем пирамиды V=S(осн)*SH/3=a^3*sin^2(2α)*tgβ/(24(sinα+cosα))

1) Обозначим одну сторону прямоугольника 5х, другую 7х. Периметр  
    прямоугольника равен сумме всех сторон, что по условию 144 см.
     Составляем уравнение:  5х+7х+5х+7х=144.  24х=144. х=6,
     Значит, одна сторона 5х=30 см, друга 7х=42 см.
     Площадь S=30·42=1260 кв.см

2) Одна сторона прямоугольника х см, вторая 3х см.
   Площадь такого прямоугольника  S=x·3x=3x², по условию 48 кв см.
   Составляем уравнение:
     3х²=48,  х²=16,  х=4
   Значит, одна сторона прямоугольника 3 см, вторая 9 см.
   Квадрат имеет сторону 9 см. Площадь такого квадрата равна 9·9=81 кв. см.

3) Пусть одна сторона прямоугольника х , вторая сторона у, тогда площадь такого прямоугольника S=x·y

У нового прямоугольника сторона 2х, вторая сторона 4у, площадь такого прямоугольника Q=2x·4y=8x·y=8·S

Площадь нового прямоугольника в 8 раз больше.