В окружность с центром Q вписан треугольник DRT. Найдите угол R

Доказательство:

1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

Значит, у него углы при основании равны:∠OAC=∠OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠B=90º- α.

4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.

∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B.

Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).

Отсюда BO=CO.

6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.

Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы

1) Эту задачу можно решить двумя

1 - геометрическим,

2 - координатным.

1. АВ = √(8² + 10² - 2*8*10*cos(180-2*30)) = √(64 + 100 + 80) = √244 = 2√61.

Далее используем формулу определения длины медианы L.

L = (1/2)*√(2*8² + 2*10² - 244) = (1/2)√84 = √21.

2. Находим координаты точек А и В с учётом длины отрезков и углов.

А = (10*cos30; 10*sin30) = (5√3; 5).

B = (8*cos(-30); 8*sin(-30)) = (-4√3; 4).

Находим основание М медианы как середину АВ : М = (0,5√3; 4,5).

Вектор ОМ равен (0,5√3; 4,5).

Его длина - это длина медианы: |OM| = √((0,5√3)² + 4,5²) =√21.

2) Даны вершины треугольника А(3; 5), В(1; 3), С(4;4).

Расчет длин сторон    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √8 ≈  2,828427125.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √10 ≈  3,16227766.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √2 ≈  1,414213562.

Периметр равен √8 +√10 +√2 ≈ 7,40492 .