У рівнобедреному трикутнику АВС бічні сторони - АВ і ВС. Доведіть що кут ВАС = куту FCD

В условии, очевидно, ошибка: в прямоугольном параллелепипеде все грани прямоугольники, но тогда в прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза (BD = 4 см) меньше катета (АD = 6 см).

Вероятно, в задаче дан прямой параллелепипед. Тогда его основания - параллелограммы, а боковые грани - прямоугольники. Решим задачу для прямого параллелепипеда.

Итак, в основании параллелограмм, в котором

АВ = CD = 3 см,

BC = AD = 6 см,

BD = 4 см - меньшая диагональ параллелограмма.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

AC² + BD² = 2(AB² + AD²)

AC² = 2(AB² + AD²) - BD² = 2(9 + 36) - 16 = 90 - 16 = 74

AC = √74 см

B₁D - меньшая диагональ параллелепипеда (так как ее проекция меньше).

ΔBB₁D: ∠B₁BD = 90°,

            tg∠BDB₁ = BB₁ / BD

            BB₁ = BD · tg60° = 4 · √3 = 4√3 см

АА₁ = ВВ₁ = 4√3 см

ΔAA₁C: ∠A₁AC = 90°, по теореме Пифагора

            A₁C = √(AA₁² + AC²) = √(48 + 74) = √122 см

Стороны треугольника относятся как 3:4:5, периметр его равен 60 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон  данного треугольника.

Соединением середин сторон данного треугольника получаем треугольник, подобный исходному ( все его стороны - средние линии   и равны половине длин сторон исходного). Коэффициент подобия k=2.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 
Р1:Р2=k=2. 
Р2=60:2=30 см
Отношение сторон 3:4:5 ⇒ в периметре меньшего треугольника 12 частей. 
Величина одной части 
30:12=2,5 см 
2,5•3=7,5 см (меньшая сторона)
2,5•4=10 см ( средняя сторона)
2,5•5=12,5 см ( большая сторона), 

Решить задачу можно несколько иначе. Найти длину сторон исходного треугольника, затем меньшего. Результат от этого не изменится.