4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 22 и 38, а тупой угол равен 135 градусов.

Равнобедренный треугольник - это треугольник у которого 2 боковые стороны равны , а третья сторона является основанием . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .
Дано :                                Чертёж.
Δ АВС                                ( Начертить равнобедренный треугольник АВС).
Доказать , что       
треугольник -
равнобедренный . 
                                       Доказательство:
1) АВ=ВС - по условию задачи .
2) ∠А=∠С-по условию задачи.
⇒ Δ АВС - равнобедренный.
                                                                                                   ч.т.д.

1) Дано: Δ АВС; ∠B=90°;  СС`- биссектриса  угла С ( ∠С`CB=∠C`CA);
C`B=8;  CC`=16
Решение.
Из ΔС`CB  
sin ∠BCC`=BC`/CC`=8/16=1/2  ⇒∠BCC`=30°
∠С`CB=∠C`CA=30° (СС`- биссектриса и делит угол С пополам)
∠С=60°
Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°  ⇒∠ВАС=90°-60°=30°
Сумма смежных углов равна 180°
∠DAC=180°-30°=150°
2)Дано: Δ АВС; ∠C=90°; BC=10;  CD⊥AB; BD=5
Решение.
ΔBDC-прямоугольный, cos∠CBD=BD/BC=5/10=1/2
∠CBD=60°
Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°  ⇒∠ВАС=90°-60°=30°
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета ВС.
АВ=20
AD=AB-DB=20-5=15
3) Дано: Δ ACD, AC=DC=4; CF⊥AD;  ∠DCF=30°; FB⊥AC
Решение.
CF- высота, медиана и биссектриса Δ ACD
∠DCF=∠ACF=30°    ⇒  ∠ACD=60°
ΔACD- равнобедренный ( AС=СD=4 по условию)
значит углы при основании (180°-60°)/2=120°/2=60°
ΔACD- равносторонний
AC=CD=AD=4

AF=FD=2 ( CF - медиана)

В прямоугольном треугольнике АВF 
∠ВАF=60°, значит ∠BFA=30° ( cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит ВF=AF/2=1.
4) Дано: Δ ABC, ∠C=90°; М- середина АВ ⇒АМ=ВМ; ∠CMD=∠DMA;
∠САВ=30°
Решение.
Cередина гипотенузы- центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника.
Поэтому МА=МВ=МС=R

МС=МА  ⇒ ΔМСА - равнобедренный ⇒ биссектриса MD - высота и медиана  ⇒ MD⊥AC

BC║MD

MD- средняя линия треугольника АВС
MD=BC/2=4/2=2