Из точки С к плоскости а проведены две наклонные СК и СР. Наклонная СК образует с плоскостью угол 45°. Длина проекции наклонной СК равна 3см. Найти длину наклонной СР, если длина проекции наклонной СР – 4см.

Трапеция ABCD; AD II BC; AC = 3; BD = 5; 
Пусть CE II BD; E лежит на продолжении AD;
Площадь треугольника ACE равна площади трапеции,
так как DE = BC; => AE = AD + BC; и у них общая высота, которая равна расстоянию от точки C до прямой AD.
Еще раз - у треугольника и трапеции одинаковые средние линии AE/2 = (AD + BC)/2 и общая высота. Площадь равна произведению средней линии на высоту и у треугольника и у трапеции.
Далее, если M - середина BC, N - середина AD, K - середина AE; 
то MC = NK; потому что NK = AE/2 - AD/2 = BC/2; 
=> MCKN - параллелограмм, и MN = CK;
=> в треугольнике ACE (площадь которого надо найти по условию задачи) медиана CK = 2; а стороны AC = 3; CE = 5;
Если теперь продлить CK за точку K на "свою" длину 2 - пусть это точка P;
то ACEP - тоже параллелограмм, потому что его диагонали AE и CP делятся пополам в точке пересечения K. 
Площадь треугольника ACE (и следовательно, площадь трапеции ABCD) равна половине площади этого параллелограмма.
Также и треугольник ACP имеет такую же площадь (любая из диагоналей делит параллелограмм на два равных треугольника).
У треугольника ACP стороны AC = 3; CP = 4; AP = 5; то есть это прямоугольный треугольник, и его площадь равна 3*4/2 = 6;

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45 градусов. 
Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?
--------
Сделаем рисунок. 
Угол МАС=45º по условию и 
SH=AC*1,5=1,5*1,5=2,25 
В треугольнике SHC  точка М - середина SC; отрезок МР⊥ НС и ||  SH,⇒
МР - средняя линия и равен SH:2МР=2,25:2=1,125 
АМ=МР:sin 45º=1,125√2=(9/8)*√2 
Т.к. основание высоты совпадает с центром ромба, треугольник АSС - равнобедренный и сечение проходит через точку пересечения медиан SH  и AM треугольника ASC. 
 SO:OH=2:1 по свойству медиан. 
КЕ || BD 
Треугольники BSD и KSЕ подобны 
SO:SH=2:3. 
КЕ : BD=2/3 
По свойству диагоналей параллелограмма ( а ромб - параллелограмм)  
D²+d²= 2 a²+2 b² 
АС²+ВD²=4*AB² 
ВD²=4-2,25=1,75 
ВD=√1,75=0,5√7 
KE=BD*2/3=(√7):3 
Диагонали четырехугольника АКМЕ взаимно  перпендикулярны. 
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. 
S АКМЕ=0,5*АМ*КЕ*sin 90º=0,5*{(9/8)*√2 *(√7):3}*1=(3√14):16