1. Постройте треугольную пирамиду АВСD, К ∈ ВС, М ∈ СD. Пользуясь рисунком, назовите: 1) две точки, не принадлежащие а) плоскости АВС; б) плоскости АВD;

2) прямую, по которой пересекаются плоскости а) ВСD и АВС;

б) АВС и АDВ;

3) плоскость, проходящую через прямые а) АМ и СD; б) DК и ВС.

2. АВСD ромб, О – точка пересечения диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, D, О – лежат в плоскости α.

- Лежат ли в плоскости α точки В и С?

- Лежит ли в плоскости МОВ точка D?

- Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АDО.

- Вычислите площадь ромба, если его стороны 4 см, а угол равен 600.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC с высотами AA1, BB1 и CC1 и докажем, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Проведем через точки A, B, C прямые, соответственно перпендикулярные к прямым AA1, BB1, CC1 и, следовательно, соответственно параллельные прямым BC, CA, AB (рис. 79). Эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник A2B2C2.

Так как C2A || BC и C2B || AC, то четырехугольник BC2AC — параллелограмм, поэтому C2A = BC. По аналогичной причине AB2 = BC. Из этих двух равенств следует, что C2A = AB2, т. е. точка A — середина отрезка C2B2. Аналогично можно доказать, что точки B и C — середины отрезков A2C2 и A2B2.

Таким образом, прямые AA1, BB1, CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A2B2C2, поэтому они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) для краткости называют ортоцентром треугольника.

Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, точка пересечения медиан и ортоцентр. Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC с высотами AA1, BB1 и CC1 и докажем, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Проведем через точки A, B, C прямые, соответственно перпендикулярные к прямым AA1, BB1, CC1 и, следовательно, соответственно параллельные прямым BC, CA, AB (рис. 79). Эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник A2B2C2.

Так как C2A || BC и C2B || AC, то четырехугольник BC2AC — параллелограмм, поэтому C2A = BC. По аналогичной причине AB2 = BC. Из этих двух равенств следует, что C2A = AB2, т. е. точка A — середина отрезка C2B2. Аналогично можно доказать, что точки B и C — середины отрезков A2C2 и A2B2.

Таким образом, прямые AA1, BB1, CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A2B2C2, поэтому они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) для краткости называют ортоцентром треугольника.

Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, точка пересечения медиан и ортоцентр. Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.