за периметр Найди периметр треугольника ABC, если его вершины имеют следующие координаты: A(1;3), B(9;10) и C(3;7).

Поскольку MP II AB; то ∠MPB = ∠PBA; а так как BP - биссектриса ∠ABC; то ∠MPB = ∠PBA = ∠PBC; следовательно, треугольник BMP равнобедренный, MB = MP;
Если теперь вспомнить (именно в этот момент :) ), что точка M - центр окружности, описанной вокруг ABC, то есть MB = MC = MA; то это значит, что точка P тоже лежит на описанной окружности. 
Получается, что ∠ACP и ∠ABP оба вписанные в окружность, описанную вокруг треугольника ABC и опираются на дугу AP этой окружности. Поэтому они равны. Очевидно, что ∠ABP равен половине ∠ABC; поэтому 
ответ ∠ACP = 32,5°

отношение сторон 5:12:13 предполагает, что каждую из них можно разделить на какое-то количество равных  отрезков (обозначь этот равный /единичный отрезок как хочешь

 х,n, kну пусть  как обычно  х)

тогда стороны   5x , 12x , 13 x

по теореме Пифагора  в прямоугольном треугольнике

c^2 =a^2+b^2

для наших сторон

(13x)^2 = (5x)^2 + (12x)^2

надо доказать, что это тождество СОБЛЮДАЕТСЯ

(13x)^2 = (5x)^2 + (12x)^2   < разделим обе части на x^2

13^2 = 5^2 +12^2

169 = 25 +144 = 169

ДОКАЗАНО прямоугольный треугольник