Даны координаты вершин пирамиды АВСД.

A(5, -1,-4); В(9,3,-6); С(7,10,-14); Д(5,1,-3)

Требуется:
1) Записать векторы АВ, АС и АД в системе орт и найти модули этих векторов.
2) Найти угол между векторами АВ, АС .
3) Найти проекцию вектора АД на вектор АВ.
4) Найти площадь грани АВС.
5) Найти высоту пирамиды, проведенной из вершины С (двумя ).
6) Найти объем пирамиды.
7) Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку Д перпендикулярно
плоскости АВС.
8) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью АВС и с координатными
плоскостями xOy; xOz; yOz.
9) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Д и С перпендикулярно плоскости
АВС.

Высота правильной пирамиды проецируется точно в центр основания, которым в данном случае является правильный треугольник. Высота, боковое ребро и отрезок, соедияющий центр основания с его вершиной, образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой, и ее можно найти, используя теорему Пифагора. Но нам неизвестен катет - тот самый отрезок между центром и вершиной основания. Обратим вниание, что этот отрезок является радиусом окружности, описанной вокруг основания-треугольника. Радиус описанной окружности можно вычислить по формуле: R = a(3^0,5)/3, где а - сторона треугольника, (3^0,5) - корень из трех. В нашем случае радиус равен: R = 6(3^0,5)(3^0,5)/3 = 63/3 = 6. Боковая грань равна: (3^2 + 6^2)^0,5 = (9 + 36)^0,5 = 45^0,5 = 35^0,5 (три корня из пяти). Так что задачу ты решила верно и без моей не стоило беспокоиться. :)

Любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD; AC и BD; AD и BC  могут быть: 

а) параллельны одной из этих прямых. 

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну. 

 

б) пересекаться: 

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну. 

В рисунке приложения даны некоторые из получающихся пар  параллельных и пересекающихся прямых:

а) pd и mn как средние линии треугольников АСD и BCD параллельны AD;   kp и no параллельны  основанию АС треугольников АDC и АВС.

б) km и mn,  mn  и no пересекаются.