4. В квадрате АВCD: O —точка пересечения диагоналей; К-наклоная в плоскости квадрата, SO перпендикулярна ABC. Найдите угол между плоскос DКС и АВС, если КО-7см, а АB-14см.

Точка находится на расстоянии√29 и лежит на прямой, перпендикулярной АВ
Напишем уравнение прямой АВ:
у=kx+b
Подставим координаты точек А и В для нахождения коэффициентов k и b^
1= - 2k+b    ⇒    b=1+2k
3=3k+b    ⇒3=3k+1+2k    ⇒2=5k      k=2/5
Любая прямая перпендикулярная прямой АВ имеет угловой коэффициент k =-5/2
(Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1)
у=-(5/2)x+b
Для нахождения прямой, проходящей через точку С, подставляем координаты точки В
3=-(5/2)·3+b  ⇒    b=10,5
у=-2,5х+10,5
Пусть первая координата точки С равна х, тогда вторая координата у=-2,5х+10,5

Решаем уравнение
(х-3)²+(-2,5х+7,5)²=29
7,25х²-43,5+36,25=0
D=(-43,5)²-4·7,25·36,25=841
х₁=(43,5-29)/14,5=1          х₂=(43,5+29)/14,5=5
тогда
у₁=-2,5х₁+10,5=-2,5·1+10,5=8             у₂=-2,5х₂+10,5=-2,5·5+10,5  =-2
Для нахождения прямой, проходящей через точку В,  подставляем координаты точки A
1=-(5/2)·(-2)+b  ⇒    b=-4
у=-2,5x-4
Пусть первая координата точки D равна х, тогда вторая координата у=-2,5х-4

Решаем уравнение
(х+2)²+(-2,5х-5)²=29
7,25х²+29х=0
х(7,25х+29)=0
х₁=0                 или    х₂=-29/7,25=-4 
тогда
у₁=-2,5x₁-4=-2,5·0-4=-4        у₂=-2,5·(-4)-4=6

ответ. С(1; 8)    или   С(5; -2)
             D(0;-4)    или      D(-4: 6)

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с 
плоскостью боковой грани угол 30°. Найти:
а) сторону основания 
призмы. 
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания
в) площадь боковой поверхности призмы. 
г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

В основаниях правильной призмы - правильные многоугольники, а боковые грани - прямоугольники. Следовательно,  ее боковые ребра перпендикулярны основанию. 
Треугольник ВD1А - прямоугольный (в основании призмы - квадрат,  и ребра перпендикулярны основанию.
а) Сторона основания противолежит углу 30°, поэтому АВ=а*sin 30=a/2
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания - это угол между диагональю ВD1 призмы и диагональю  ВD основания.
ВD  как диагональ квадрата равна а√2):2
cos D1BD=BD:BD1=( а√2):2):a=(√2):2), 
и это косинус 45 градусов. 
в) площадь боковой поверхности призмы находят произведением высоты на периметр основания:
S бок=DD1*AB= (а√2):2)*4*a/2=a²√2
г) Сечение призмы, площадь которого надо найти,  это треугольник АСК.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Верным является и обратное утверждение. 
Высота КН  - средняя линия прямоугольного треугольника BDD1. Она параллельна диагонали призмы, а само сечение проходит через диагональ АС  основания. 
S Δ(АСК)=КН*СА:2
SΔ (АСК)=(0,5а*а√2):2):2=(а²√2):8