Самостійна робота із Геометрії

1.
Радиус  r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒  r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π)  < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 1 : 2  ⇒BE = k₂ , EC  =  2k₂  ;  BC=3k₂.
CF : FA   =  1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA  =  2k₃  ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.

Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 2 : 1  ⇒BE = 2k₂ , EC  =  k₂  ;  BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда  точка касания  F середина  AC.

1) Рассмотрим тр. ВСД и ДКА,
углы ВСД и ДКА = 90 градусам,
угол КДА = углу ДВС (из равенства Δ ВСД и Δ ДАВ, они равны по двум катетам)
Значит тр. ВСД подобен тр. ДКА (по равенству двух углов), и ДК/ВС = АД/ВД,

ДК = 15, ВД = 15+5 = 20, ВС=ДА, 
значит 15/ВС = АД/20
Заменим АД ВС (т.к. они равны):
ВС^2 = 300,

ВС = АД = корню из 300 = 10√3 (см).
2) Теперь рассмотрим тр. ВСД, где угол ВСД = 90 гр.
ВД^2 = ВС^2 + СД^2 (по теореме Пифагора)
СД = √(400 - 300) = √100 = 10 (см)
ВС/СД = 10√3/10 = √3.
3)Р Δвсд = ВС + СД +ВД = 10√3 + 10 + 20 = 30 + 10√3 (см).
4) S Δвсд = (произведению катетов) ВС × СД = 10√3 × 10 = 100√3 (см^2).
ответ: а) √3; б) (30 + 10√3) см; в) 100√3 см^2.