1.Диагонали ромба равны 14 и 48 см. Найдите сторону ромба.
Пусть сторона ромба а
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Стороны в ромбе равны.
4а²=14²+48²
4а²=196+2304=2500
а²=625
а=25
2.В треугольнике два угла равны 45° и 90°, а большая стороны 20 см. Найдите другие стороны треугольника.
Сумма углов треугольника =180°
Второй острый его угол =45°, следовательно, треугольник равнобедренный прямоугольный.
Большая сторона в прямоугольном треугольнике - его гипотенуза.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
с²=а²+ b²
а=b
с²=2а²
20²=2а²
а²=400:2=200
а=√200=10√2
ответ: а=b=10√2
3.В треугольнике ABC угол A=90° градусов, угол B=30°, AB=6 см. Найдите стороны треугольника.
Сторона АС противолежит в этом прямоугольном треугольнике углу 30°. По свойству катета, противолежащего углу 30°, АС=ВС:2
ВС=2А
(2АС)²=АС²+ВА²
(2АС)²=АС²+6²
3АС²= 36
АС²=12
АС=2√3
ВС=2АС=4√3
Примечание: можно воспользоваться при решении значением косинуса 30°.
cos(ABC)>0 => △ABC - остроугольный
Отрезок AC виден из точек P и K под прямым углом
=> APKC - вписанный => ∠BPK=∠BCA => PK антипараллельна AC
Аналогично KM и MP.
(Доказали: стороны остроугольного треугольника антипараллельны сторонам ортотреугольника.)
=> △ABC~△KBP~△AMP~△KMC
cos(ABC) =BP/BC =6/10 =3/5
BP=3x, BC=5x, AP=2x
CP=√(BC^2-BP^2)=4x
AC=√(AP^2+CP^2)=√(4+16)x =2√5x
BM - высота и медиана, AM=AC/2=√5x
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
S(KBP)/S(ABC) =(BP/AB)^2 =(3/5)^2 =9/25
S(AMP)/S(ABC) =(AM/AB)^2 =(√5/5)^2 =5/25
Понятно, что △AMP=△KMC
S(KMP) =S(ABC)-S(KBP)-2(AMP) =(25-9-10)/25 S(ABC) =6/25 S(ABC) =12
=> S(ABC) =12*25/6 =50
