2. Луч MN – биссектриса угла М. На сторонах угла отложены равные отрезки МА и МВ. Запишите равные элементы треугольников MAN и MBN и определите, по какому
признаку треугольники равны.

1. см²

2. У равновеликих фигур площади равны. Площадь первого:

Пусть . Тогда

Решим квадратное уравнение . По теореме Виета находим его корни: . Так как длина не может быть отрицательной, то выбираем первый корень. .

Наконец по условию см

3. Найдем площадь квадрата .

Обозначим высоту, проведенную к стороне, через х: . Тогда наша сторона будет равна . Учитывая, что площадь треугольника равна , приравняем это к площади квадрата.



4. Все упрощается, когда мы заметим, что наш треугольник - прямоугольный. Действительно, по теореме, обратной теореме Пифагора: , что делает наш треугольник прямоугольным. Две высоты будут равны соответственно катетам, а третью мы найдем через площадь. Вот как:



Откуда находим . ответ:

ДАНО: SАВС - правильная треугольная пирамида ; SD = h ; линейный угол двугранного угла ABCS равен 45°.

НАЙТИ: S пол. пов. пирамиды 
______________________________

РЕШЕНИЕ:

1) Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, и при этом лучи лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, то есть ∆ АВС – равносторонний 

В ∆ АВС опустим высоту АН на ВС
В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой → ВН = СН

отрезок SD ( высота пирамиды ) перпендикулярен плоскости основания ∆ АВС
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости →
SD перпендикулярен АН
АН перпендикулярен ВС
Значит, SH перпендикулярен ВС по теореме о трёх перпендикулярах

Из этого следует, что угол SHА – линейный угол двугранного угла АВСS, то есть угол SHА = 45°

2) Рассмотрим ∆ SHD (угол SDH = 90°):
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90°
угол HSD = 90° - 45° = 45°

Значит, ∆ SHD – прямоугольный и равнобедренный , SD = DH = h

По теореме Пифагора:
SH² = SD² + DH²
SH² = h² + h² = 2h²
SH = h√2

Как было сказано выше, высота, проведённая в равностороннем треугольнике, является и медианой, и биссектрисой
Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины
Следовательно, AD : DH = 2 : 1 →
AD = 2 × DH = 2h
AH = AD + DH = 2h + h = 3h

Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле:



где а - сторона равностороннего треугольника, h - высота

BC = ( 2√3 × AH ) / 3 = ( 2√3 × 3h ) / 3 = 2√3h

S пол. пов. пирамиды = S осн. + S бок. пов.

В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны друг другу →

S пол. пов. пирамиды = S abc + 3 × S bcs 

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:



где а - сторона равностороннего треугольника

S пол. пов. пирамиды = 


ОТВЕТ: 3√3h² × ( 1 + √2 )