В равнобедренном треугольнике A B C , B E - высота, A B = B C . Найдите A B , если A C = √ 2 , 2 и B E = 0 , 3

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.

Точка М - центр описанной окружности.

Точка О - центр вписанной окружности.

Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.

Радиус вписанной окружности равен по формуле:

r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.

Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.

PB=HB=2см (касательные из одной точки).

Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:

ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .

ответ: расстояние между центрами окружностей равно

√1,25 ≈ 1,12 см.

Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:

d² = R² - 2·R·r.

В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.

тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.

Сначала найдём высоту треугольника, лежащего в основании (она же является стороной треугольника-сечения). Треугольник в основании равносторонний, так как пирамида правильная. Применим одну из формул высоты равностороннего треугольника: h= а × √3/2 , где а - сторона.
h= 9√3 × √3 /2 = 9 × 3 / 2 = 13,5 
Теперь найдём параметры центра треугольника в основании пирамиды - это и будет та точка, в которой высота пирамиды делит высоту основания, образуя с ней прямой угол. Это важно для вычисления площади неправильного треугольника, которым и является искомое сечение пирамиды.
В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в центре, деля его высоты в соотношении 2:1 - 2 при угле, 1 при стороне.
13,5 :3 =4,5 - часть высоты от центра до стороны.
4,5 ×2 = 9 - часть высоты от угла до центра
Таким образом мы имеем гипотенузу 15 и катет 9 прямоугольного треугольника, являющегося одной из двух частей сечения пирамиды. По теореме Пифагора найдём второй катет (Х-икс), являющийся высотой пирамиды.
Х=√ (15²-9²)= √(225 - 81) = √144 = 12
Теперь мы имеем все данные для вычисления площади сечения. Сечение состоит из 2х прямоугольных треугольников (треугольник сечения, разделенный высотой пирамиды на два других). А площадь прямоугольного треугольника равна 1/2 произведения сторон, прилежащих к прямому углу.
S1=12×9 /2 =54   S2=12×4,5 /2 =27
S1 + S2 = 54+27=81