1. Там опечатка. с пересекает не АВ а АМ в т. С
Треугольники АВD и АВС - равны по катету АВ и острому углу ВАС = ВАD
Значит и другие катеты тоже равны:
ВС = BD, что и треб. доказать.
2. АВС и АВ1С1 - два остроугольных тр-ка.
Пусть АВ = А1В1. Проведем высоты и медианы к этим сторонамСК и С1К1 - медианы, СМ и С1М1 - высоты. По условию СК = С1К1, а СМ = С1М1
Тогда пр. тр. СКМ = С1К1М1 (по катету и гипотенузе)
Значит и другие катеты равны: КМ = К1М1
Так как КВ = АВ/2 = К1В1 = А1В1/2: МВ = М1В1
Значит пр. тр-ки СВМ и С1В1М1 равны по двум катетам. Значит равны и гипотенузы и углы:
угол В = углу В1, ВС = В1С1
В итоге получили:
Треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними (АВ = А1В1, ВС = В1С1, угол В = углу В1). Что и требовалось доказать
Поскольку у двух образованных треугольников общая высота, то проекции катетов на гипотенузу относятся как 54 : 6 = 9 : 1 и, следовательно, сами катеты относятся как 3 : 1 (отношение проекций катетов на гипотенузу равно квадрату отношений длин самих катетов).
Пусть длина одного катета Х, тогда длина второго катета 3 * Х.
По формуле площади Х * 3 * Х / 2 = 1,5 * X² = 54 + 6 = 60
Тогда Х² = 40 , а Х = √40 = 2 * √10 см. Тогда длина второго катета
3 * 2 * √40 = 6 * √40 см , а длина гипотенузы
√((2*√10)² + (6*√10)²) = √(40 + 360) = √400 = 20 см.
