, обе задачи (((
фото ниже..

Центр окружности лежит на биссектрисе угла. Радиусы окружности, проходящие через точки касания сторон угла с окружностью,  будет перпендикулярны к сторонам угла.  Таким образом, биссектриса, касательные (стороны угла от вершины до точек касания с окружностью) и радиусы образуют два одинаковых прямоугольных треугольника.  И при любом положении угла относительно окружности (при вращении угла вокруг окружности) все размеры этих треугольников будут оставаться неизменными. Следовательно вершина угла опишет окружность , центр которой совпадет с центром  заданной окружности,  и радиусом равным расстоянию от вершины угла до центра окружности.

Равенство треугольников АОК и ВОF доказано.

Объяснение:

Требуется доказать, что треугольники AOK и DOF равны.

Дано: АК ⊥ а; BF ⊥ a;

AB ∩ a = O;

KO = OF.

Доказать: ΔАОК = ΔВОF.

Доказательство:

Рассмотрим ΔАОК и ΔВОF.

АК ⊥ а; BF ⊥ a (по условию)

⇒ ΔАОК и ΔВОF - прямоугольные.

KO = OF (условие);

∠АОК = ∠ВОF (вертикальные)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

⇒ ΔАОК = ΔВОF (по катету и прилежащему острому углу)

Равенство треугольников АОК и ВОF доказано.