Отрезок АD перпендикулярен плоскости равностороннего треугольника АВС. Найдите периметр треугольника ВСD, если АВ = 3см, АD = 4см.

Если нельзя применить теоремы синусов и косинусов, то, скорее всего, можно применить теорему Пифагора.

Пусть высота треугольника АВС из точки А равна Н.

Опустим из основания биссектрисы перпендикуляр h на сторону ВС.

Из подобия треугольников имеем h/H = 4/20 = 1/5,

По Пифагору находим:

Н = √(20² - (5/2)²) = √(400 - (25/4) = √(375/4) = 15√7/2.

Теперь получаем: h = (1/5)*(15√7/2) = 3√7/2.

Длину биссектрисы L тоже определяем по Пифагору.

Проекция её на ВС равна (5/2) + (4/5)*(5/2) = 9/2.

L = √((9/2)² + h²) = √((81/4) + (63/4)) = √(144/4 = √36 = 6.

ответ: длина биссектрисы равна 6.

Сделать чертёж. Разделить сторону ВС на 4 части. Обозначить на расстоянии 1 от точки В точку N. Тогда BN=1, NC=3. Провести прямую MN согласно условию. Параллельно ей провести из точки А прямую , которая пересечёт сторону ВС в точке Р.
Рассмотреть треугольник MNC. Отрезок АР в нём - средняя линия, следовательно, точка Р делит сторону NC пополам.
Но NC=3, значит, NP=1,5.
Таким образом, BN относится к NP как 1:1,5 или как 2:3. Поскольку MN и АР параллельны (по построению), то таким же будет и соотношение отсекаемых ими отрезков на стороне АВ.
ответ: 2:3