4.Чи є прямокутним трикутник зі сторонами: 1) 7 см; 8 см; 9 см; 2) 7 см; 24 см; 25 см
ЖЕЛАТЕЛЬНО С ПОЛНЫМ РЕШЕНИЕМ!
Это к.р, надеюсь

Т.к. BF - медиана и высота треугольника ABD, то AB=BD. На продоложении отрезка BA за точку A возьмем точку G так, что AG=AB и пусть H - точка пересечения прямой BE с GC. Тогда AB=BC и BH - биссектриса и медиана треугольника GBC, Е - точка пересечения его медиан,  AD - его средняя линия. Т.к. треугольник GEH подобен треугольнику DEF с коэффициентом подобия 2, то S(GEH)=4S(DEF)=20. Т.к. медианы BH, CA и  GD треугольника GBC делят его на 6 равновеликих треугольников (это так в любом треугольнике), то S(ABC)=3*S(GEH)=60.

5) Периметр квадрата со стороной AM равен 4AM.

4AM=2BC <=> AM=BC/2

Отрезок из прямого угла к гипотенузе, равный ее половине - медиана.

AM - медиана и высота, следовательно △ABC - равнобедренный, острые углы 45.

6) Продолжим перпендикуляр BO до пересечения с AD в точке P.

OBM= 90-OMB =BCM

△ABP=△BCM (по катету и острому углу)

AP=BM=BN => PD=NC

PNCD - прямоугольник, диагонали являются диаметрами описанной окружности.

COP=90, точка O лежит на окружности с диаметром CP.

Вписанный угол NOD опирается на диаметр ND, NOD=90