Кр геометрія Подібність трикутників 8 клас даю 30

Я тут уже делал эту простенькую задачу. Эдесь у задачи нет решения, я поэтому и делаю :)

 

Надо выразить стороны треугольника через неизвестную площадь S и высоты

a = 2*S/4; b = 2*S/7; c = 2*S/10;

и подставить в формулу Герона для площади

полупериметр равен 

p  = (a + b +c)/2 = S*(1/4 + 1/7 + 1/10);

p - a = S*(-1/4 + 1/7 + 1/10);

p - b = S*(1/4 - 1/7 + 1/10);

p - c = S*(1/4 + 1/7 - 1/10);

по идее осталось записать и вычислить S.

S^2 = p*(p - a)*(p - b)*(p - c) = S^4*(1/4 + 1/7 + 1/10)*(-1/4 + 1/7 + 1/10)*(1/4 - 1/7 + 1/10)*(1/4 + 1/7 - 1/10);

К сожалению, p - a < 0, и у задачи нет решения. Это означает, что b + c < a, то есть нарушено правило треугольника (проверьте, 1/7 + 1/10 = 17/70 < 1/4 = 17/68) 

Свойство: Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. EF - средняя линия. 
Значит АEFВ - трапеция, в которой CВ=2ЕF.
Свойство:
Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.
Итак, ВС+EF=CE+FB. Но EF=(1/2)*ВС, а СЕ+FB=(1/2)*(АВ+АС). 
Значит (3/2)*ВС=(1/2)*(АВ+АС) или 3ВС=АВ+АС.
АВ+АС+ВС=24 (дано). Тогда 4ВС=24, а ВС=6.
Sabc=(1/2)*ВC*h=(1/2)*6*8=24.(так как h=2*d=8, поскольку EF - средняя линия и делит h пополам. Половина же высоты - это в нашем случае  диаметр вписанной окружности).
По Герону: Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c). Или S²=12(12-a)(12-b)(12-6).
То есть 24²=12*6*(12-a)(12-b) или 8=(12-a)(12-b). 
Но a+b+c=24, а с=6, значит a+b=18. тогда b=18-a.
Подставляем это значение в выражение 2=(12-a)(12-b) и получаем:
8=(12-a)(а-6). Имеем квадратное уравнение:
а²-18а+80=0, откуда а1=10, а2=8 и b1=8, b2=10.