В кyбе ABCDA1B1C1D1 точки P, Q и R середины ребер A1B1, BB1 и B1C1 соответственно. Найдите угол PRQ Решите

Выведу обобщённую формулу для подобных задач про трапецию с известными диагоналями AC = x, BD = y, и суммой оснований BC + AD = m

Проведём из вершинны С прямую СЕ, параллельную BD, тогда BC || DE, CE || BD ⇒ BCED - параллелограми, ВС = DE, CE = BD = y

S (abcd) = (BC + AD)•CH/2 = (DE + AD)•CH/2 = AE•CH/2 = S (ace)

Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE

Найдём плошадь ΔАСЕ по формуле Герона: АС = х, CE = y, AE = m

Площадь трапеции с диагоналями х и у и суммой оснований равной m:S = √( p • (p - x) • (p - y) • (p - m) ) , где р = (х + y + m)/2

Средняя линия трапеции: MN = (BC + AD)/2 = 5 ⇒ m = 10, x = 9, у = 17

S (abcd) = √(18•(18 - 9)(18 - 17)(18 - 10)) = √(18•9•1•8) = 36

ответ: 36

Катет а, что лежит против угла а будет равен
а = с*sina (там, где речь идет об угла, под значком а подразумевается альфа)

Катет b, тот что прилегает к углу а, соответственно будет равен:
b = c*cosa

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
S = 0,5c^2*sina*cosa

А далее есть такая формула для площади S = 0,5Pr
где Р - периметр, а r - как раз радиус вписанной окружности.
Отсюда и найдем этот самый радиус:
r = 2S/P
Периметр, как известно, сумма всех сторон, поэтому Р = с + с*sina + c*cosa = с (1 + sina +cosa)

Итак, r = c^2*sina*cosa/с (1 + sina +cosa) = c*sina*cosa/(1 + sina +cosa)
(после сокращения на с)

ну а теперь достаточно вспомнить формулу для вычисления длины окружности С
С = 2пr

Таким образом нужно радиус умножить на 2п (п - это число "пи", приближенно равное 3,14, но как правило в задачах такого рода приближенное значение не используется, и ответ оставляется с "пи")

С = 2п*c*sina*cosa/(1 + sina +cosa)