Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикальному перерiзi половину правильного восьмикутника (див. мал.). Знайдіть ширину перекриття BD, сторону восьмикутника і висоту мансардної кімнати ABCDE, якщо АЕ = 6 м.

Пусть данный треугольник ABC, в нем опущены высоты AK и BN, ортоцентр - O.
Нарисуем точку, симметричную O относительно BC:
продолжим OK на отрезок, равный OK, за точку K. Обозначим полученную точку L.
Теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный
пусть ∠obk = a
Δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана =>
∠kbl = ∠obk = a
из Δbnc ∠nbc = 90 - ∠bcn
из Δakc ∠kac = 90 - ∠kcn
∠kcn и ∠bcn - один и тот же угол => ∠kac = ∠nbc = a
∠lac = ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc.
оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично

Решение:
Площадь круга равна: S=Пи*R^2
Для этого найдём радиус круга.
В квадрате, описанной окружностью диагональ квадрата равна диаметру окружности.
Найдём диагональ квадрата:
Из площади квадрата S=а^2  или 50дм^2=a^2   a=sqrt50
Из теоремы Пифагора найдём диагональ, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами , равными стороне квадрата
с^2=a^2+a^2  или D^2=a^2+a^2
D^2=sqrt50+sqrt50    D=sqrt[ (sqrt50)^2+(sqrt50)^2]=sqrt100=10 (дм)  R=10/2=5 (дм)
S круга=3,14*5^2=3,14*25=78,5 (дм^2)

ответ: Площадь круга равна 78,5 дм^