т о биссектрисе
BE/EA =BC/CA =4/5
т Менелая
AD/DC *CF/FE *EB/BA =1 => 1/1 *CF/FE *4/9 =1 => CF/FE =9/4
Площади треугольников с равными высотами относятся как основания.
S(AEF)=x, S(CDF)=S(ADF) =y
S(AFC)/S(AEF) =CF/FE =9/4 =2y/x => S(AEF)/S(CDF) =x/y =8/9
Другое решение
BF/FD =BC/CD =4 :5/2 =8/5 (т о биссектрисе)
S(BCF)/S(CDF) =BF/FD =8/5 => S(CDF)=5/8 S(BCF)
S(ABD)=S(CBD), S(AFD)=S(CFD) => S(BCF)=S(BAF)
BE/EA =BC/CA =4/5 (т о биссектрисе)
S(BFE)/S(AEF) =BE/EA =4/5 => S(AEF) =5/9 S(BAF)
S(AEF)/S(CDF) =5/9 :5/8 =8/9
6.6
Объяснение:
Дан треугольник АВС. АВ=ВС=5. АС=2.
Проведены высоты СК и AL . Проведем также высоту ВН.
Найти периметр KLH.
АН=АС:2=1
По т Пифагора найдем ВН.
ВН= sqrt(AB²-AH²)=sqrt(25-1)=sqrt(24)
cos(ABH)=cos(B/2)=BH/AB= sqrt(24)/5
sin(B/2)=AH/AB=1/5
cos(B)=(cos(B/2))²-(sin(B/2))²=24/25-1/25=23/25
ΔCKB: KB/CB=cos(B)
KB=CB*cos(B)=5*23/25=23/5
КВ=LB, так как КB=BC/cos(B) и LB=AB/cos(B)) и АВ=АС
=>Δ BKL- равнобедренный => ∡BKL=∡BLK
В треугольниках АВС и KBL угол В - общий.
=> ∡BKL=∡BAC=∡BLK=∡BCA=(180-∡B)/2
=> треугольники KBL и АВС подобны по 2-м углам
=> KB/AB=KL/AC
KL=23/25*2=46/25
Теперь из треугольника КНВ по т косинусов находим КН.
КН²=КВ²+НВ²-2*КВ*НВ*cos(B/2)
KH²=529/25+24-2*23*sqrt(24)*sqrt(24)/5/5
KH²=1129/25+46*24/5= (1129-1104)/25=1
KH=1
P(KLH)=KH+HL+KL=1+1+23/5=6.6
