Объяснение:
А) докажем что АВNM - прямоугольник.
Имеем 2 параллельные плоскости - основания цилиндра. Плоскость, проходящая через хорду АВ перпендикулярна прямой CD, лежащей в плоскости основания. Значит плоскость сечения перпендикулярна плоскостям основаниий цилиндра, а т.к. цилиндр прямой, то и высоты цилиндра AM и BN, образованные сечением ABNM перепендикулярны плоскостям оснований. В результате получаем четырёхугольное сечение, все внутренние углы которого прямые. Это - прямоугольник.
Диагонали прямоугольника равны!
Б) Найдём объём пирамиды CABNM.
Формула вычисления объёма пирамиды
V=1/3·S·h, где S-площадь основания, h-высота пирамиды.
Очевидно, что S=8*3=24.
Найдём h=CD₁.
Используем свойство хорд: если 2 хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
В нашем случае хордами выступают MN=AB=R и CD=2R.
Хорда MN делится на MD₁=ND₁, т.к. хорда CD является диаметром и пересекает хорду MN под прямым углом, разделяя её пополам.
Составим уравнение, обозначив за х D₁D - меньшую часть хорды CD отсеченную плоскостью ABNM:
x·(2R-x) =0.25R²
Для удобства дальнейших расчетов подствим вместо R числовое значение:
х·(16-х)=16
х²-16х+16=0
D=16²-4*16=192
x₁=(16+√192)/2=8+4√3
x₂=(16-√192)/2=8-4√3
Здесь решение x₁ - это случай, когда точка D и центр основания лежат по одну сторону от плоскости сечения (т.к. в нашем случае там находится точка С, то это и есть высота пирамиды,
а х₂ - это отрезок DD₁ изначально принятый за х.
Значит DD₁=8-4√3 и проверим высоту пирамиды
h=CD₁=(2R-x)=16-8+4√3=8+4√3 (совпало с х₁) - это можно выпустить. Простая проверка.
V=1/3·S·h=1/3·24·(8+4√3)=64+32√3 кубических единиц.
Выведу обобщённую формулу для подобных задач про трапецию с известными диагоналями AC = x, BD = y, и суммой оснований BC + AD = m
Проведём из вершинны С прямую СЕ, параллельную BD, тогда BC || DE, CE || BD ⇒ BCED - параллелограми, ВС = DE, CE = BD = y
S (abcd) = (BC + AD)•CH/2 = (DE + AD)•CH/2 = AE•CH/2 = S (ace)
Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE
Найдём плошадь ΔАСЕ по формуле Герона: АС = х, CE = y, AE = m
Площадь трапеции с диагоналями х и у и суммой оснований равной m:S = √( p • (p - x) • (p - y) • (p - m) ) , где р = (х + y + m)/2Средняя линия трапеции: MN = (BC + AD)/2 = 5 ⇒ m = 10, x = 9, у = 17
S (abcd) = √(18•(18 - 9)(18 - 17)(18 - 10)) = √(18•9•1•8) = 36ответ: 36
