1) Через две точки можно провести только одну прямую (аксиома).
При расположении точек важно, чтобы ни одни три не располагались на одной прямой.
Как вариант построения:
Наложите два треугольника один на другой так, чтобы они не имели общих вершин и их стороны пересекались. Вершины треугольников можно попарно соединять в разных комбинациях (см. рисунок в приложении)
2) Через любые две точки проходит одна и только одна прямая. (Аксиома).
Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. В противном случае , если бы они имели две общие точки, то через эти точки проходили бы две различные прямые, что противоречит аксиоме.
Отсюда следуют варианты:
а) все четыре прямые пересекают данную в одной точке.
б) прямые пересекают её в двух точках ( по две в каждой)
в) в трёх точках ( две из них пересекают прямую в одной точке)
г) в четырех точках -каждая прямая пересекает данную в отдельной точке.
При пересечении четырех прямых с данной может образоваться от одной до четырех точек пересечения.
По условию диагональ АС делит четырехугольник на два равных треугольника.
а)
Пусть АВ=CD. (см. рис. 1)
Из равенства треугольников следует равенство их сходственных элементов.
Тогда:
Угол ВСА=САD, ВАС=АСD. Эти углы - накрестлежащие при пересечении прямых секущей. Если накрестлежащие углы при пересечении двух прямых секущей равны - эти прямые параллельны.
Следовательно, BC II AD и AB II CD.
б)
То же самое можно доказать из равенства противолежащих сторон треугольников.
АВ=CD, BC=AD, АС - общая.
Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, этот четырехугольник - параллелограмм. По определению противолежащие стороны параллелограмма параллельны.
Следовательно, BC II AD и AB II CD
———
Условие задачи некорректное - не указана пара равные сторон. Иначе доказательство параллельности противоположных сторон может оказаться невозможным. Диагональ АС делит четырёхугольник на два равных треугольника (см. признаки равенства треугольников), но противолежащие стороны не параллельны. (См. рис.2)
