4. Площадь треугольника ABC равна 82см?. AB = 8 см, AC = 4 см. Найдите величину угла ВАС.
[4]

Пусть А -начало координат.
Ось Х - АВ
Ось У - перпендикулярно X в сторону С
Ось Z- AA1

Координаты точек
D(0.5;0;1)
E(0.25;√3/4;1)
B(1;0;0)
B1(1;0;1)
C(0.5;√3/2;0)

Уравнение плоскости АDE
ax+by+cz=0 - проходит через начало координат.
Подставляем координаты точек
0.5а+с=0
0.25а+√3b/4+c=0

Пусть а=4 тогда с= -2 b =4/√3
4x+4y/√3 -2z =0

Уравнение плоскости ВСС1 она же ВВ1С
аx+by+cz+d=0

a+d=0
a+c+d= 0
0.5a+√3b/2+d=0

c=0
Пусть а =2 тогда d= -2 b= 2/√3
2x+2y/√3-2=0

Косинус искомого угла равен
(8+8/3)/√(16+16/3+4)/√(4+4/3)=(32/3)/√(76/3)/√(20/3)=32/√(76*20)=8/√95
синус равен √(1-64/95)=√(31/95)
тангенс √31/8

1 теорема: Квадрат длины касательной (DC) = произведению длины                               секущей (DA), проведенной из той же точки (у нас это D),
                   на ее внешнюю часть (DB). 
2 теорема: Угол между касательной (DC) и хордой (BC), проведенными из                     одной точки (у нас это С), = половине градусной меры дуги,
                   заключенной между касательной и хордой.
и вписанный угол ВАС = половине градусной меры той же дуги...
легко заметить, что треугольник DLC окажется равнобедренным))